Fra sum til brøk

Det er god trening å prate matematikk. Her er det fritt fram for alle. Obs: Ikke spør om hjelp til oppgaver i dette underforumet.

Fra sum til brøk

Innlegg sEirik » 22/09-2006 14:43

Er det mulig å gå algebraisk fra

(1) [tex]\sum_{i=1}^n i[/tex]

til

(2) [tex]\frac{n(n+1)}{2}[/tex]

? Og i så fall hvordan? Med andre ord, hvordan kommer man fram til at (1) er lik (2)? Dvs, når man først vet det, er det enkelt å bevise, men hvordan finner man uttrykket (2)?
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg Magnus » 23/09-2006 02:54

Man leter vel etter et utrykk som passer, og deretter bruker man induksjon for å se om det passer for alle. Så er vel mest om å "prøve" seg fram.
Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Innlegg Cauchy » 23/09-2006 08:23

Trenger ikke prøve seg frem heller, formelen er ganske intuitiv klar hvis du tenker på denne måten:

Du skal summe alle heltallene fra 1 - n.
Først summer du samen n og 1
Så summer du sammen n-1 og 2
.
.
.
.
Til slutt summer du sammen n/2 og n/2+1

Summen av alle disse parene er n+1, og du har n/2 har dem. da følger formelen direkte.
Cauchy offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 359
Registrert: 20/01-2005 11:22

Innlegg Magnus » 23/09-2006 13:37

Ja, selvfølgelig, dette tilfelle er vel et særtilfelle i grunn. VI kan bruke aritmetiske rekker for å finne denne summen, så var litt dårlig besvart det forrige innlegget mitt, beklager.

Men når man kommer til høyere potenser finnes det også en generell formen for disse, men disse inneholder bernoulli-tall, så de er ikke akkurat lette å forholde seg til :)
Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Innlegg Cauchy » 23/09-2006 15:40

Det stemmer det, og da er det ikke no gøy lenger, bare jobb:P
Cauchy offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 359
Registrert: 20/01-2005 11:22

Innlegg sEirik » 28/09-2006 21:31

Wikipedia har visst klart å gå algebraisk fra (1) til (2). Elegant måte å gjøre det på også.
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg daofeishi » 01/10-2006 15:01

Jada, det finnes mange algebraiske måter å gjøre det på. Wikipedia har vist en. En annen er ved å bruke teleskoprekker:

Legg merke til at:
[tex]\sum _1 ^n [k^2 - (k-1)^2] = n^2[/tex]
Siden hvert ledd kansellerer det forrige - helt fram til siste leddet. Dette er en teleskoprekke, siden hele rekken "folder" seg selv sammen, omtrent som gamle uttrekksteleskop.

[tex]k^2 - (k-1)^2 = 2k - 1 \\ \Rightarrow \sum _1 ^n (2k - 1) = n^2 \\ 2\sum _1 ^n k - \sum _1 ^n 1 = 2 \sum _1 ^n k - n = n^2 \\ \therefore \ \ \sum _1 ^n k = \frac{n^2+n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]


Teknikken med teleskoprekker kan brukes videre for summen av kvadrater og kuber også - og bygger da videre på tidligere resultater.

[tex] k^3 - (k-1)^3 = 3k^2 - 3k + 1 \\ \sum _1 ^n (3k^2 - 3k + 1) = n^3 \\ 3\sum _1 ^n k^2 = n^3 + 3\sum _1 ^n k - \sum _1^n 1 = n^3 + \frac{3(n^2 + n)}{2} - n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} \\ \therefore \ \ \sum _1 ^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

[tex]k^4 - (k-1)^4 = 4k^3 - 6k^2 + 4k - 1 \\ 4\sum _1^n k^3 = n^4 + \frac{6n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{4n(n+1)}{2} + n = n^2(n+1)^2 \\ \therefore \sum _1^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex]
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google Adsense [Bot] og 9 gjester