Er det mulig å gå algebraisk fra
(1) [tex]\sum_{i=1}^n i[/tex]
til
(2) [tex]\frac{n(n+1)}{2}[/tex]
? Og i så fall hvordan? Med andre ord, hvordan kommer man fram til at (1) er lik (2)? Dvs, når man først vet det, er det enkelt å bevise, men hvordan finner man uttrykket (2)?
Fra sum til brøk
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Trenger ikke prøve seg frem heller, formelen er ganske intuitiv klar hvis du tenker på denne måten:
Du skal summe alle heltallene fra 1 - n.
Først summer du samen n og 1
Så summer du sammen n-1 og 2
.
.
.
.
Til slutt summer du sammen n/2 og n/2+1
Summen av alle disse parene er n+1, og du har n/2 har dem. da følger formelen direkte.
Du skal summe alle heltallene fra 1 - n.
Først summer du samen n og 1
Så summer du sammen n-1 og 2
.
.
.
.
Til slutt summer du sammen n/2 og n/2+1
Summen av alle disse parene er n+1, og du har n/2 har dem. da følger formelen direkte.
Ja, selvfølgelig, dette tilfelle er vel et særtilfelle i grunn. VI kan bruke aritmetiske rekker for å finne denne summen, så var litt dårlig besvart det forrige innlegget mitt, beklager.
Men når man kommer til høyere potenser finnes det også en generell formen for disse, men disse inneholder bernoulli-tall, så de er ikke akkurat lette å forholde seg til
Men når man kommer til høyere potenser finnes det også en generell formen for disse, men disse inneholder bernoulli-tall, så de er ikke akkurat lette å forholde seg til
Jada, det finnes mange algebraiske måter å gjøre det på. Wikipedia har vist en. En annen er ved å bruke teleskoprekker:
Legg merke til at:
[tex]\sum _1 ^n [k^2 - (k-1)^2] = n^2[/tex]
Siden hvert ledd kansellerer det forrige - helt fram til siste leddet. Dette er en teleskoprekke, siden hele rekken "folder" seg selv sammen, omtrent som gamle uttrekksteleskop.
[tex]k^2 - (k-1)^2 = 2k - 1 \\ \Rightarrow \sum _1 ^n (2k - 1) = n^2 \\ 2\sum _1 ^n k - \sum _1 ^n 1 = 2 \sum _1 ^n k - n = n^2 \\ \therefore \ \ \sum _1 ^n k = \frac{n^2+n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]
Teknikken med teleskoprekker kan brukes videre for summen av kvadrater og kuber også - og bygger da videre på tidligere resultater.
[tex] k^3 - (k-1)^3 = 3k^2 - 3k + 1 \\ \sum _1 ^n (3k^2 - 3k + 1) = n^3 \\ 3\sum _1 ^n k^2 = n^3 + 3\sum _1 ^n k - \sum _1^n 1 = n^3 + \frac{3(n^2 + n)}{2} - n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} \\ \therefore \ \ \sum _1 ^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
[tex]k^4 - (k-1)^4 = 4k^3 - 6k^2 + 4k - 1 \\ 4\sum _1^n k^3 = n^4 + \frac{6n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{4n(n+1)}{2} + n = n^2(n+1)^2 \\ \therefore \sum _1^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex]
Legg merke til at:
[tex]\sum _1 ^n [k^2 - (k-1)^2] = n^2[/tex]
Siden hvert ledd kansellerer det forrige - helt fram til siste leddet. Dette er en teleskoprekke, siden hele rekken "folder" seg selv sammen, omtrent som gamle uttrekksteleskop.
[tex]k^2 - (k-1)^2 = 2k - 1 \\ \Rightarrow \sum _1 ^n (2k - 1) = n^2 \\ 2\sum _1 ^n k - \sum _1 ^n 1 = 2 \sum _1 ^n k - n = n^2 \\ \therefore \ \ \sum _1 ^n k = \frac{n^2+n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]
Teknikken med teleskoprekker kan brukes videre for summen av kvadrater og kuber også - og bygger da videre på tidligere resultater.
[tex] k^3 - (k-1)^3 = 3k^2 - 3k + 1 \\ \sum _1 ^n (3k^2 - 3k + 1) = n^3 \\ 3\sum _1 ^n k^2 = n^3 + 3\sum _1 ^n k - \sum _1^n 1 = n^3 + \frac{3(n^2 + n)}{2} - n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} \\ \therefore \ \ \sum _1 ^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
[tex]k^4 - (k-1)^4 = 4k^3 - 6k^2 + 4k - 1 \\ 4\sum _1^n k^3 = n^4 + \frac{6n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{4n(n+1)}{2} + n = n^2(n+1)^2 \\ \therefore \sum _1^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex]