Bevis av formel for Volum av kube og pyramide

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Bevis av formel for Volum av kube og pyramide

Innlegg espen180 » 27/06-2008 18:36

Jeg vil forsøke å bevise volumet av noen geometriske figurer. Først skal jeg bevise volumet av en terning, så bruke dette til å lage en formel for vilkårlige kuber. Etterpå har jeg forsøkt uten hell å bevise en formel for volumet av en pyramide.

Jeg begynner med å plassere en terning med sidelengde [tex]s[/tex] slik at et hjørne befinner seg i origo og hele terningen befinner seg i første oktant, se figur.

Bilde

For å finne volumet vil jeg integrere den. da må jeg først integrere en av sidene, så integrere denne gjennom resten av terningen, slik:

Bilde

Siden terningen går fra 0 to [tex]s[/tex] på x-aksen, y-aksen og z-aksen, blir integralet:

[tex]V=\int_0^s\int_0^s s \, \rm{d}x\rm{d}y \\ V=\int_0^s [sx]_0^s \rm{d}y \\ V=\int_0^s s^2 \, \rm{d}y=[s^2y]_0^s=s^3-0=\underline{\underline{s^3}}[/tex]

Vi har bevist formelen for volumet av en terning. Nå forsøker vi å generalisere litt mer. Vi lar en kube ha bredde [tex]x_k[/tex], lengde [tex]y_k[/tex] og høyde [tex]z_k[/tex]. Da får vi integralet:

[tex]V=\int_0^{y_k}\int_0^{x_k}z_k\,\rm{d}x\rm{d}y \\ V=\int_0^{y_k} [z_kx]_0^{x_k}\rm{d}y \\ V=\int_0^{y_k}z_kx_k\,\rm{d}y=[z_kz_ky]_0^{y_k}=x_ky_kz_k \\ \text{Vi setter inn for lengde, bredde og hoyde.} \\ V=l \cdot b \cdot h[/tex]

Vi har bevist formelen for volum av en kube.

Vennligst kommenter dette beviset. Er det riktig ført? Er notasjonen riktig, osv.

Vi går videre til å forsøke å bevise volumet for en pyramide med firkantet base. Jeg har tatt for meg en pyramide med "bein" som står 45 grader på horisontalplanet.

Først plasserer jeg pyramiden slik jeg plasserte kuben, se figur.

Bilde

Å ta en vilkårlig snitt av denne pyramiden er litt mer komplisert en når man gjør det med en kube. Jeg har funnet de forskjellige lengdene i et snitt langs yz-planet når x har en vilkårlig verdi mellom 0 og 2h. Langdene til basen på pyramiden er 2h. Dette førlger naturlig av at beina til pyramiden står 45 grader på horisontalplanet.

Bilde

Fra dette ser vi at arealet av et slikt vilkårlig snitt er gitt ved

[tex]A=x|2h-2x|+\frac{x\left(2h-|2h-2x|\right)}{2}[/tex]

Vi lar dette snittet gå fra 0 til h og ganger med 2. Dette kan vi gjøre fordi pyramiden er symmetrisk med sentrum i x=h og y=h

[tex]2\cdot\left[x|2h-2x|+\frac{x\left(2h-|2h-2x|\right)}{2}\right]_0^{h}=2h^2[/tex]

Her går det galt. Dette skulle ha blitt [tex]4h^2[/tex]. Da kunne jeg integrert mht. [tex]h[/tex] og fått [tex]\frac{4h^3}{3}[/tex]. Da kunne jeg ha satt inn for basen og høyden og kommet fram til formelen [tex]V=\frac13 g^2 h[/tex]. Kan noen hjelpe meg med dette? Har jeg gjort noe feil, hoppet over noe eller er helt helt på bærtur i hele beviset? Alle svar settes pris på.

Takk på forhånd.
espen180 offline
Gauss
Gauss
Brukerens avatar
Innlegg: 2578
Registrert: 03/03-2008 15:07
Bosted: Trondheim

Innlegg dagen82 » 28/07-2008 15:06

Har et bevis for formelen [tex]V =a^2/3[/tex] som kanskje er til hjelp:

Er forholdsvis ny her på forumet, men har et notat vedr. beviset for formelen, så får du bare si ifra om du føler det mangler noe. Forresten så lurer jeg på hvordan du får inn tegningene du har lagt i innlegget, og hva du bruker? :)

Vi setter lengden av grunnflatesidene til a. Høyden til et vilkårlig horisontalt snitt i pyramiden er x. Høyden på pyramiden er h. Høyden fra snittet til toppen av pyramiden er da h-x.

Så lager vi et vilkårlig snitt inne i pyramiden slik at vi får to formlike trekanter (én over det horisontale snittet, og én som er hele det vertikale snittet)
Det gir oss [tex]ax/a=h-x/h[/tex]
Videre får vi [tex]ax= (h-x/h)a[/tex]

Vi setter [tex]ax[/tex] inn i [tex]A(x)= ((h-x/h)a)^2[/tex]
Arealet av det horisontale snittet :[tex] A(x)=ax*ax[/tex] der ax er siden i snittet.

[tex]dV= A(x)dx= (h-x)^2/h^2*a^2dx[/tex]

Hvis du da regner ut det bestemte integralet av A(x) med et intervall fra 0 til h vil du se at du får formelen for volum av en pyramide :D

Håper dette hjalp litt.
Matematikken handler utelukkende om begrepenes forhold til hverandre, uten hensyn til deres forhold til erfaringen.
dagen82 offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 7
Registrert: 25/07-2008 13:41
Bosted: Telemark

Innlegg Thales » 29/07-2008 18:10

dagen82 skrev:Har et bevis for formelen [tex]V =a^2/3[/tex] .... Forresten så lurer jeg på hvordan du får inn tegningene du har lagt i innlegget, og hva du bruker? :) ....


http://www.geogebra.org. Det er gratis for privat bruk :wink:
1. aar paa MIT(Freshman)

Anbefaler sterkt å sjekke denne artikkelen
Thales offline
Brahmagupta
Brahmagupta
Brukerens avatar
Innlegg: 369
Registrert: 05/03-2008 16:04
Bosted: Steigen

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 9 gjester