logaritmelikning

[Erniac]

ln(x-1) - lnx= 1

Bruker andre logaritmesetning og får at :

ln(x-1/x)= 1

(x-1/x)= e

x-1= ex, hva er det jeg har gjort galt. Hvordan kan man egentlig utrykke løsningen (uten å sette inn omtrentlig verdi for e) ?


Og : -1 < 1 - e^-x) < 1, som jeg ikke aner hvordan jeg skal løse. Hvordan løser man egentlig likninger med flere ulikehetstegn?

[Olorin]

Problemet ditt er [tex]\frac{x-1}{x}=e^1[/tex] ?

[tex]x-1=xe^1[/tex]

[tex]x-xe^1=1[/tex]

[tex]x(1-e^1)=1[/tex]

[tex]x=\frac1{1-e^1}\approx-0.582[/tex]

Slik kan du få ut løsningen på en finere måte

[Vektormannen]

Men det er vel ikke en løsning? [tex]\frac{1}{1-e}[/tex] er jo negativ.

[Olorin]

Jo, men skriver du om logaritmen til brøk så vil du få positivt tall

Altså [tex]\ln(\frac{x-1}{x})=1[/tex] der vil [tex]x=\frac1{1-e^1}[/tex] være den eneste løsningen

[Vektormannen]

Når det gjelder den ulikheten, kan du f.eks. dele jobben opp i to deler. Du skal tross alt bare finne de x-verdiene som gjør at uttrykket er mellom -1 og 1. Begynn med å løse den første ulikheten:

[tex]1-e^{-x} > -1[/tex]

[tex]2-e^{-x} > 0[/tex]

Venstresida har et nullpunkt for [tex]x = -\ln 2[/tex], og vil være større enn 0 for alle x-verdier større enn [tex]-\ln 2[/tex].

Så tar vi den andre ulikheten:

[tex]1-e^{-x} < 1[/tex]

[tex]-e^{-x} < 0[/tex]

Det er klart at vi kan stappe inn hva vi vil for x, og denne vil fortsatt være mindre enn 0, siden den har et negativt fortegn ([tex]e^{-x}[/tex] er i seg selv alltid positiv).

Da gjenstår det bare å oppsummere. Den ene ulikheten krever at [tex]x > -\ln 2[/tex], og den andre krever ingen ting. Da kan vi konkludere med at løsningen blir intervallet [tex]\langle -\ln 2, \rightarrow \rangle[/tex]

[Vektormannen]

Jo, men skriver du om logaritmen til brøk så vil du få positivt tall

Altså [tex]\ln(\frac{x-1}{x})=1[/tex] der vil [tex]x=\frac1{1-e^1}[/tex] være den eneste løsningen

Ah, såklart. Men at den opprinnelige likningen har en annen form (som gjør at løsningen gir et ugyldig uttrykk) har ikke noe å si?

[Charlatan]

Det spørs hvordan man definerer det. Hvis man definerer uttrykket til å være gyldig for alle relle verdier, altså verdimengden, kan definisjonsmengden være utenom det relle settet. Det kommer an på hvordan man definerer det. I utgangspunktet er jo lnx definert for negative x verdier.