Her er ett til deg, Jarle10, når du skal lære delbrøkoppspalting. Bruker også det at [tex]\arctan^\prime (x) = \frac{1}{1+x^2}[/tex].
[tex]I = \int \frac{5x^2 + 3x + 5}{x^3 + x} {\rm d}x[/tex]
Integrasjonlek
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Jeg er fortsatt litt usikker på delbrøkoppspalting, så gjerne påpek feil i fremgangsmåte:
[tex]I = \int \frac{5x^2+3x+5}{x^3+x} dx = \int \frac{5x^2+3x+5}{x(x^2+1} dx[/tex]
Vi spalter brøken:
Jeg har sett et sted at vi må anta en førstegradslikning over en annengradslikning som jeg har gjort her(Bx+C), men er ikke sikker på det:
[tex]\frac{5x^2+3x+5}{x^3+x} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} \\ 5x^2+3x+5=A(x^2+1)+(Bx+C)(x) = Ax^2+A+Bx^2+Cx[/tex]
Vi separerer likningen:
[tex]Ax^2+Bx^2=5x^2 \\ Cx=3x \\ A=5[/tex]
[tex]5x^2+Bx^2=5x^2[/tex]
[tex]B=0 \\ A=5 \\ C=3[/tex]
[tex]I = \int \frac{5}{x} + \frac{3}{x^2+1} dx = 5\ln{|x|} + 3\int\frac{1}{1+x^2}[/tex]
[tex]I_2=\int \frac{1}{1+x^2}dx[/tex]
[tex]\tan{u}=x[/tex]
[tex]du=\frac{1}{1+x^2}dx[/tex]
[tex](1+x^2)du=dx[/tex]
[tex]I_2=\int \frac{(1+x^2)du}{1+x^2} = u+C_1[/tex]
[tex]u=arctan(x)[/tex]
[tex]I_2 = arctan(x)+C_1[/tex]
[tex]I= 5\ln{|x|} +3I_2 = 5\ln{|x|} +3arctan(x)+3C_1 = 5\ln{|x|} +3arctan(x)+C[/tex]
Alternativ løsning:
[tex]I \qquad = \qquad \int \frac{5x^2 + 3x + 5}{x^3 + x} \rm{d}x \qquad = \qquad \frac{5}{3}\int \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} + \frac{\frac{9}{5}}{x^2 + 1} + \frac{\frac{2}{x^3}}{1+\frac{1}{x^2}} \rm{d}x \qquad = \qquad \frac{5}{3} \ln|x^3+x| + 3\arctan(x) - \frac{5}{3}\ln|1 + \frac{1}{x^2}| + C \\ = \qquad 5 \ln|x| + 3\arctan(x) + C[/tex]
(Oppspaltningen er gjort ved inspeksjon)
Edit: Kan jo vise stegene i oppspaltningen min og.
Tanke 1: Jeg kan jo få divisor til å bli et derivat av dividend. Dermed har jeg forenklet uttrykket, og fått en integrand jeg lett kan hanskes med.
[tex]\frac{5x^2 + 3x + 5}{x^3 + x} \rm{d}x \qquad = \qquad \frac{5}{3}\left( \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} + \frac{\frac{9}{5}x+2}{x^3 + x}\right)[/tex]
Tanke 2: Jeg kan dele opp den andre brøken og få et utrykk som integreres til arctan
[tex]\frac{\frac{9}{5}x+2}{x^3 + x} \qquad = \qquad \frac{\frac{9}{5}}{x^2+1} + \frac{2}{x^3+x}[/tex]
Tanke 3: Deler jeg siste brøken med [tex]x^3[/tex] i teller og nevner, blir teller rimelig lik derivatet av nevneren.
[tex]\frac{2}{x^3+x} = \frac{\frac{2}{x^3}}{1 + \frac{1}{x^2}}[/tex]
[tex]I \qquad = \qquad \int \frac{5x^2 + 3x + 5}{x^3 + x} \rm{d}x \qquad = \qquad \frac{5}{3}\int \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} + \frac{\frac{9}{5}}{x^2 + 1} + \frac{\frac{2}{x^3}}{1+\frac{1}{x^2}} \rm{d}x \qquad = \qquad \frac{5}{3} \ln|x^3+x| + 3\arctan(x) - \frac{5}{3}\ln|1 + \frac{1}{x^2}| + C \\ = \qquad 5 \ln|x| + 3\arctan(x) + C[/tex]
(Oppspaltningen er gjort ved inspeksjon)
Edit: Kan jo vise stegene i oppspaltningen min og.
Tanke 1: Jeg kan jo få divisor til å bli et derivat av dividend. Dermed har jeg forenklet uttrykket, og fått en integrand jeg lett kan hanskes med.
[tex]\frac{5x^2 + 3x + 5}{x^3 + x} \rm{d}x \qquad = \qquad \frac{5}{3}\left( \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} + \frac{\frac{9}{5}x+2}{x^3 + x}\right)[/tex]
Tanke 2: Jeg kan dele opp den andre brøken og få et utrykk som integreres til arctan
[tex]\frac{\frac{9}{5}x+2}{x^3 + x} \qquad = \qquad \frac{\frac{9}{5}}{x^2+1} + \frac{2}{x^3+x}[/tex]
Tanke 3: Deler jeg siste brøken med [tex]x^3[/tex] i teller og nevner, blir teller rimelig lik derivatet av nevneren.
[tex]\frac{2}{x^3+x} = \frac{\frac{2}{x^3}}{1 + \frac{1}{x^2}}[/tex]
-
ingentingg
- Weierstrass
- Posts: 451
- Joined: 25/08-2005 17:49
Dette er helt korrekt gjort, men for å komme med et lite tips så kan det være nyttig å bare sette x=0 i likning (1). Da får man at A=5.Jarle10 wrote:
[tex]\frac{5x^2+3x+5}{x^3+x} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} \\ (1) \ 5x^2+3x+5=A(x^2+1)+(Bx+C)(x) = Ax^2+A+Bx^2+Cx[/tex]
Vi separerer likningen:
[tex]Ax^2+Bx^2=5x^2 \\ Cx=3x \\ A=5[/tex]
[tex]5x^2+Bx^2=5x^2[/tex]
[tex]B=0 \\ A=5 \\ C=3[/tex]
Av og til kan man så fortsette slik, eller gjøre det på standardmåten du brukte
Slike poster vekker tårer i øyenkroken til matematiker:) (OK, nettopp ferdig med grillfest og norge-argentina @ bygg miljø ing fadder opplegg )
)The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Må bare si at
[tex]\int \sqrt{\tan(x)}{\rm dx}\;[/tex]ble løst på en fin måte.
Jeg tillater meg å komme med ett bidrag, tiltross for at Jarle har æren.
Han kan jo bare sende i vei sitt bidrag også.
Trur forøvrig integralet under havner i over heavy-klassen.
[tex]I_{\text heavy}=\int \frac{\rm dx}{1+x^5}[/tex]
[tex]\int \sqrt{\tan(x)}{\rm dx}\;[/tex]ble løst på en fin måte.
Jeg tillater meg å komme med ett bidrag, tiltross for at Jarle har æren.
Han kan jo bare sende i vei sitt bidrag også.
Trur forøvrig integralet under havner i over heavy-klassen.
[tex]I_{\text heavy}=\int \frac{\rm dx}{1+x^5}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Ja, det var kult, så kampen sjøl. Kunne de bare spilt tilsvarende bra i viktige kvalik. kamper også...Olorin wrote:Slike poster vekker tårer i øyenkroken til matematiker:) (OK, nettopp ferdig med grillfest og norge-argentina @ bygg miljø ing fadder opplegg
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Foreløpig arbeid følger. Jeg vet ikke hvorvidt det vil lede frem:
Delbrøkpoppspaltning gir
[tex]I_{\rm{heavy}} \qquad = \qquad \int \frac{\rm{d}x}{1+x^5} \qquad = \qquad \frac{1}{5}\int \frac{1}{x+1} + \frac{-x^3+2x^2-3x+4}{x^4-x^3+x^2-x+1} \rm{d}x \qquad = \qquad \frac{1}{5}\ln|x+1| - \frac{1}{20}\int \frac{4x^3 - 3x^2+2x-1}{x^4-x^3+x^2-x+1} + \frac{-5x^2+10x-15 }{x^4-x^3+x^2-x+1} \rm{d}x \\ = \qquad \frac{1}{5}\ln|x+1| -\frac{1}{20}\ln|x^4-x^3+x^2-x+1| - \frac{1}{4} \int \frac{x^2-2x+3 }{x^4-x^3+x^2-x+1} \rm{d}x[/tex]
[tex]I_1 \qquad = \qquad \int \frac{x^2-2x+3 }{x^4-x^3+x^2-x+1} \rm{d}x \qquad = \qquad \int \frac{(x-1)^2+2}{(x-1)^4+3(x-1)^3+4(x-1)^2+2(x-1)+1}\rm{d}x[/tex]
La [tex]u = x-1[/tex]
[tex]I_1 \qquad = \qquad \frac{u^2+2}{u^4+3u^3+4u^2+2u+1} \rm{d}u[/tex]
Delbrøkpoppspaltning gir
[tex]I_{\rm{heavy}} \qquad = \qquad \int \frac{\rm{d}x}{1+x^5} \qquad = \qquad \frac{1}{5}\int \frac{1}{x+1} + \frac{-x^3+2x^2-3x+4}{x^4-x^3+x^2-x+1} \rm{d}x \qquad = \qquad \frac{1}{5}\ln|x+1| - \frac{1}{20}\int \frac{4x^3 - 3x^2+2x-1}{x^4-x^3+x^2-x+1} + \frac{-5x^2+10x-15 }{x^4-x^3+x^2-x+1} \rm{d}x \\ = \qquad \frac{1}{5}\ln|x+1| -\frac{1}{20}\ln|x^4-x^3+x^2-x+1| - \frac{1}{4} \int \frac{x^2-2x+3 }{x^4-x^3+x^2-x+1} \rm{d}x[/tex]
[tex]I_1 \qquad = \qquad \int \frac{x^2-2x+3 }{x^4-x^3+x^2-x+1} \rm{d}x \qquad = \qquad \int \frac{(x-1)^2+2}{(x-1)^4+3(x-1)^3+4(x-1)^2+2(x-1)+1}\rm{d}x[/tex]
La [tex]u = x-1[/tex]
[tex]I_1 \qquad = \qquad \frac{u^2+2}{u^4+3u^3+4u^2+2u+1} \rm{d}u[/tex]
Enig i at delbrøkoppspalting bør føre fram, men tror det er bedre å ta utgangspunkt i røttene i likningen
[tex]x^5=-1[/tex], altså
[tex]x_k=e^{i\frac{\pi+2k\pi}{5}}[/tex], der [tex]k=0..4[/tex]
Da kommer arctan-leddene inn via kompleks logaritme når man integrerer de enkle delbrøkene. Hvis man alternativt vil jobbe reelt, kan man slå sammen de kompleks konjugerte parene til to andregradsfaktorer.
Beklageligvis har jeg ikke tid til å gjennomføre detaljene nå...
Kommentar: La ikke merke til at dette var på videregående skoles nivå. Da blir nok løsningsmetoden i vanskeligste laget...
[tex]x^5=-1[/tex], altså
[tex]x_k=e^{i\frac{\pi+2k\pi}{5}}[/tex], der [tex]k=0..4[/tex]
Da kommer arctan-leddene inn via kompleks logaritme når man integrerer de enkle delbrøkene. Hvis man alternativt vil jobbe reelt, kan man slå sammen de kompleks konjugerte parene til to andregradsfaktorer.
Beklageligvis har jeg ikke tid til å gjennomføre detaljene nå...
Kommentar: La ikke merke til at dette var på videregående skoles nivå. Da blir nok løsningsmetoden i vanskeligste laget...
Du har nok blitt litt slurvete i notasjonen, daofeishi 
Ville ikke giddet å kommentere det hvis det ikke var for at jeg tror du liker å notere ting korrekt..
[tex]\int f(x) + g(x) {\rm d}x[/tex] gir ikke mening.
Men [tex]\int \left ( f(x) + g(x) \right ) {\rm d}x[/tex] gjør det.
Ville ikke giddet å kommentere det hvis det ikke var for at jeg tror du liker å notere ting korrekt.. [tex]\int f(x) + g(x) {\rm d}x[/tex] gir ikke mening.
Men [tex]\int \left ( f(x) + g(x) \right ) {\rm d}x[/tex] gjør det.
Kunne du vist dette likevel?fish wrote:Enig i at delbrøkoppspalting bør føre fram, men tror det er bedre å ta utgangspunkt i røttene i likningen
[tex]x^5=-1[/tex], altså
[tex]x_k=e^{i\frac{\pi+2k\pi}{5}}[/tex], der [tex]k=0..4[/tex]
Da kommer arctan-leddene inn via kompleks logaritme når man integrerer de enkle delbrøkene. Hvis man alternativt vil jobbe reelt, kan man slå sammen de kompleks konjugerte parene til to andregradsfaktorer.
Beklageligvis har jeg ikke tid til å gjennomføre detaljene nå...
Kommentar: La ikke merke til at dette var på videregående skoles nivå. Da blir nok løsningsmetoden i vanskeligste laget...