Integrasjonlek

[halten]

Ingen hemmelighet at det er smart å trene på integrasjon. Derfor vil jeg starte en klassiker av en integrasjonstråd.
Som på mange andre forum har den følgende oppskrift:
Første innlegg inneholder et uløst integral (gjerne VGS nivå men også strammere nivå)

Førstemann til mølla som løser integralet poster da et nytt integral som skal løses av nestemann osv osv..

Her er nummer en i rekken

[tex] I_1 = \int 4x^2\cos(3x)\rm{d}x[/tex]

[Charlatan]

God ide!

[tex]I = \int 4x^2cos(3x) dx \\ t=3x \ \frac{dt}{3}=dx \\ I=\frac{4}{3}\int (\frac{t}{3})^2cos(t) dt = \frac{4}{27}\int t^2cos(t) dt \\ I_1 = \int t^2cost(t) dt \\ u=t^2 \ u^\prime = 2t \\ v^\prime = cos(t) \ v = sin(t) \\ I_1 = t^2sin(t) - 2\int t \cdot sin(t) dt \\ I_2 = \int t \cdot sin(t) dt \\ u = t \ u^\prime = 1 \\ v^\prime = sin(t) \ v=-cos(t) \\ I_2 = -t \cdot cos(t) +\int cos(t) dt = sin(t)-t \cdot cos(t)+C \\ I = \frac{4}{27}I_1 = \frac{4}{27}(t^2sin(t)-2\cdot I_2) = \frac{4}{27}(t^2sin(t)-2(sin(t)-t \cdot cos(t))) + C = \frac{4}{27}t^2sin(t)-\frac{8}{27}sin(t)+\frac{8}{27}tcos(t) +C \\ t=3x \Rightarrow I = \frac{4}{3}x^2sin(3x) - \frac{8}{27}sin(3x)+\frac{8}{9}xcos(3x) + C[/tex]

Og så var det et eget integral da..

[tex]I = \int 5e^{2x}\frac{sin(x)}{tan(x)} dx[/tex]

Er ikke så oppfinnsom akkurat...

[daofeishi]

Ålrait. Here goes...

[tex]I \qquad = \qquad 5\int e^{2x} \frac{\sin(x)}{\tan(x)} \rm{d}x \qquad = \qquad 5\int e^{2x}\cos(x) \rm{d}x \qquad = \qquad5\Re \left( \int e^{(2+i)x} \rm{d} x\right) \\ = \qquad 5 \Re \left( \frac{e^{(2+i)x}}{2+i} +C \right) \qquad = \qquad e^{2x}\Re \left((2-i)e^{ix}\right) + C \qquad = \qquad e^{2x} \left(2\cos(x) + \sin(x) \right) + C[/tex]


Neste:

[tex]\int e^{\arcsin (x)} \rm{d} x[/tex]

[Charlatan]

Brif!

Sleng opp et eget integral da
EDIT: så du gjorde det

[Olorin]

Jepp Halten er en godkar!

Fin den Jarle må bare omformes litt selvfølgelig

[tex]I=\int 5e^{2x}\cdot \frac{\sin x}{\tan x}dx \ \; \left(\frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \cos x\right)[/tex]

[tex]u^, = \cos x \,\ u=\sin x \ , \ v=5e^{2x} \,\ v^,=10e^{2x}[/tex]

[tex]\int 5e^{2x}\cdot \cos x dx= \sin x \cdot 5e^{2x}-\int 10e^{2x}\cdot \sin x dx[/tex]

Ny delvis:
[tex]u^, = \sin x \,\ u=-\cos x \ , \ v=10e^{2x} \,\ v^,=20e^{2x}[/tex]

[tex]\int 10e^{2x}\cdot \sin x dx= -\cos x\cdot 10e^{2x}-\int 20e^{2x}\cdot -\cos x dx[/tex]

Fører inn i første delvis integral:

[tex]\int 5e^{2x}\cdot \cos x dx = \sin x\cdot 5e^{2x}-\left(-\cos x\cdot 10e^{2x}+\int 20e^{2x}\cdot \cos x dx\right)[/tex]

[tex]\int 5e^{2x}\cdot \cos x dx = \sin x\cdot 5e^{2x}+\cos x\cdot 10e^{2x}-20\int e^{2x}\cdot \cos x dx[/tex]

Fører over [tex]20\int e^{2x}\cdot \cos x dx[/tex] til venstre side.

[tex]25\int e^{2x}\cdot \cos x dx = \sin x\cdot 5e^{2x}+\cos x \cdot 10e^{2x}[/tex]

[tex]25\int e^{2x}\cdot \cos x dx = 5e^{2x}(\sin x+2\cos x)[/tex]

[tex]\int 5e^{2x}\cdot \cos x dx = \underline{\underline{e^{2x}(\sin x + 2\cos x)+C}}[/tex]

Ny integral kommer straks

[daofeishi]

Forsiktig så det ikke blir rot i systemet nå. Jeg er redd jeg kom deg i forkjøpet med et par små minutter

Jeg forslår at vi tar integralet over først:

[tex]\int e^{\arcsin (x)} \rm{d} x[/tex]

Edit: Jeg foreslår også at posten flyttes til nøtte-seksjonen.

[Olorin]

Fy flate daofeshi.. :p da gjelder din neste integral som neste..

Altså:

[tex]I=\int e^{\arcsin x} \rm{dx}[/tex]

*edit*

Greit nok at du slo meg med et par minutter, men du eide meg på framgangsmåte

[Janhaa]

[tex]I=\int e^{\arcsin(x)}{\rm dx}[/tex]

u = arcsin(x) og x = sin(u) og cos(u) = [symbol:rot](1-x[sup]2[/sup])

[tex]{\rm du}(\sqrt{1-x^2})={\rm dx}[/tex]

[tex]I=\int e^u\cos(u){\rm du}[/tex]

nå er jeg såpass lat, og har dårlig tid, at jeg bruker formelsamlinga og slår opp:

[tex]I={e^u\over 2}(\sin(u)+\cos(u))={1\over 2}e^{\arcsin(x)}(x\,+\,\sqrt{1-x^2})\,+\,C[/tex]
-----------------------------------------------------------------------------

OK, den stemte med Integrator iallfall.
Neste:

[tex]I=\int \frac{\rm dx}{1+x^4}[/tex]

Jarle, nå må du ikke kikke på Gib Z sin løsning da...

[Olorin]

Imponert..

Hvordan visste du at "u = arcsin(x) og cos(u) = √(1-x2)" ?

Står ikke i formelsamlinga mi (Matte 1)

Gjerne fyr opp et nytt integral

[Charlatan]

Ah, fin løsning janhaa!

Man måtte vite at [tex]arcsinx = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex] da

[Janhaa]

Imponert..
Hvordan visste du at "u = arcsin(x) og x = sin(u) og cos(u) = √(1-x2)" ?
Står ikke i formelsamlinga mi (Matte 1)
Gjerne fyr opp et nytt integral

sin(arcsin(x)) = x (kan nesten si at du opphever operasjonen)
cos(u) = [symbol:rot](1 - x[sup]2[/sup]) er Pytagoras.
Altså: cos[sup]2[/sup](u) + sin[sup]2[/sup](u) = 1

[Janhaa]

Ah, fin løsning janhaa!
Man måtte vite at [tex]arcsinx = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex] da

Eller snarere at:

[tex]\frac{\rm d}{\rm dx}(\arcsin(x))=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]

Viktig å ha disse i "fingertuppa". Putt de inn med engang, jeg som kjemiker bruker dem titt og ofte...

[Charlatan]

Ja, var det jeg mente

[Olorin]

bumper integralet Janhaa hosta opp..

[tex]I=\int \frac1{1+x^4}\rm{d}x[/tex]

[Charlatan]

Denne en nøtt altså...