kombinatorikk 2mx

[Zoiros]

Pokker å!! Hvem har rett?

[KjetilEn]

Her var det jo mange fine teorier, men fasiten har nok rett.

De ulike kombinasjonene kan sees på som et ordnet par. Mengden av alle slike ordnede par er det kartesiske produktet

Det kartesiske produktet av to mengder X og Y er definert ved:

[tex]X \times Y = \lbrace (x, y) | x \in X \ \wedge \ y \in Y \rbrace[/tex]


Vi andvender multiplikasjonsprinsippet:

Kardinaliteten av det kartesiske produktet av to endelige mengder X og Y, er kardinaliteten av X multiplisert med kardinaliteten til Y.

[tex]| X \times Y | = |X| \times |Y| = 5 \cdot 5 = 25[/tex]

En liten grafisk illustrasjon til slutt


EDIT: Dette er feil og viser bare antall mulige kombinasjoner for å lage ett par!

[ettam]

Her var det jo mange fine teorier, men fasiten har nok rett.

De ulike kombinasjonene kan sees på som et ordnet par. Mengden av alle slike ordnede par er det kartesiske produktet

1) Enig. Dette har utviklet seg til en morsom diskusjon...

2) Hvorfor mener du at vi har kombinasjoner av ordende par her? Jeg skulle tro, parene var uordnet. (Hvis det er noe som heter det da. Litt på tynn is her, har kun et kurs med statistikk og sannsynlighetsregning fra universitetet, og det er kanskje litt for lenge siden nå).

[Zoiros]

La oss skalere problemet ned til 2 gutter og 2 jenter. Vi har altså følgende ungdomer:

G[sub]1[/sub], G[sub]2[/sub], J[sub]1[/sub] og J[sub]2[/sub].

Det er da opplagt at mulige sammensettninger er:

sammensettning 1: G[sub]1[/sub]J[sub]1[/sub] og G[sub]2[/sub]J[sub]2[/sub]
sammensettning 2: G[sub]1[/sub]J[sub]2[/sub] og G[sub]2[/sub]J[sub]1[/sub]

Altså er svaret 2 sammensettninger.

Vi har kommet frem til tre alternative metoder for utregning av 5 jenter og 5 gutter:
metode 1: 5*5=25
metode 2: 5!=120
metode 3: 5*5+4*4+3*3+2*2+1*1 = 55.

Bare en kan være rett.

Tar vi for oss den enklere situasjonen beskrevet innledningsvis og regner med de tre metodne vi har kommet frem til får vi:

metode 1: 2*2 = 4
metode 2: 2! = 2
metode 3: 2*2 + 1*1 = 3

Bare metode 2 ga riktig svar for 2 jenter og 2 gutter derfor må vi slutte at 5! er riktig svar for 5 jenter og 5 gutter.

[KjetilEn]

2) Hvorfor mener du at vi har kombinasjoner av ordende par her? Jeg skulle tro, parene var uordnet. (Hvis det er noe som heter det da. Litt på tynn is her, har kun et kurs med statistikk og sannsynlighetsregning fra universitetet, og det er kanskje litt for lenge siden nå).

Ser på det som et ordnet par så vi ikke får multiplisiteter. Siden {g1, j1} = {j1, g1}

Forøvrig ser at jeg tok en brå en. Svaret jeg skrev er hvor mange forskjellig par det finnes.

Riktig svar er 5! Var faktisk litt vanskeligå utlede noe fra teorien her så bær med med på denne høyst umatematiske fremstillingen.

Her er de 24 "første" mengder av ulike par på formen (gutt nr, jente nr). For alle disse kombinasjonene er gutt 1 paret med jente 1. Det må finnes tilsvarende antall parkombinasjoner for for gutt 1 paret med jente 2 gutt 1 paret med jente 3 osv.

Altså 24*5=120. Eller mer korrekt 5! = 120.


{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}
{(1,1),(2,2),(3,3),(4,5),(5,4)}
{(1,1),(2,2),(3,4),(4,3),(5,5)}
{(1,1),(2,2),(3,4),(4,5),(5,3)}
{(1,1),(2,2),(3,5),(4,3),(5,4)}
{(1,1),(2,2),(3,5),(4,4),(5,3)}
{(1,1),(2,3),(3,2),(4,4),(5,5)}
{(1,1),(2,3),(3,2),(4,5),(5,4)}
{(1,1),(2,3),(3,4),(4,2),(5,5)}
{(1,1),(2,3),(3,4),(4,5),(5,2)}
{(1,1),(2,3),(3,5),(4,2),(5,4)}
{(1,1),(2,3),(3,5),(4,4),(5,2)}
{(1,1),(2,4),(3,2),(4,3),(5,5)}
{(1,1),(2,4),(3,2),(4,5),(5,3)}
{(1,1),(2,4),(3,3),(4,2),(5,5)}
{(1,1),(2,4),(3,3),(4,5),(5,2)}
{(1,1),(2,4),(3,5),(4,2),(5,3)}
{(1,1),(2,4),(3,5),(4,3),(5,2)}
{(1,1),(2,5),(3,2),(4,3),(5,4)}
{(1,1),(2,5),(3,2),(4,4),(5,3)}
{(1,1),(2,5),(3,3),(4,2),(5,4)}
{(1,1),(2,5),(3,3),(4,4),(5,2)}
{(1,1),(2,5),(3,4),(4,2),(5,3)}

[Magnus]

Ja, 5! er jo åpenbart det eneste naturlige svaret her. Av den grunn jeg siterte tråden på realisten også.

[Zoiros]

Ja, 5! er jo åpenbart det eneste naturlige svaret her. Av den grunn jeg siterte tråden på realisten også.

Spurte professorn min i statestikk og fikk følgende svar:


Hei,

Riktig svar er 5! Dette er som stoleksemplet. Erstatt de 5 stolene med 5
gutter.
Om jentene velger stoler eller gutter er hipp som happ! Lykke til med
videre forberedelser.

Beste hilsen

Bent

http://www.uio.no/sok?person=bent

[ettam]

Hei, jeg trenger hjelp med en oppgave her. Jeg har fasiten, men jeg er litt uenig i svaret det gir, så jeg ville satt pris på om noen her tolket oppgaven og ga meg sin mening på den:

Vi har ti ungdommer, 5 gutter og 5 jenter, de skal alle spille tennis. Det skal settes opp par med en gutt og en jente. Hvor mange ulike sammensetninger med fem par kan vi sette opp?

jjk: Var denne oppgaven hentet fra ei lærebok, i så fall hvilken?

[jjk]

Den var fra et eksempelsett fra mars 2002, i et eksamenshefte. Jeg tror ikke den ble gitt til noen eksamen, men som sagt løsningsforslaget sier 5^2, så det er store misforståelser her. De som lagde oppgaven har formulert seg veldig dårlig.

Men tusen takk alle som har engasjert seg!

[ettam]

Ja, 5! er jo åpenbart det eneste naturlige svaret her. Av den grunn jeg siterte tråden på realisten også.

Spurte professorn min i statestikk og fikk følgende svar:


Hei,

Riktig svar er 5! Dette er som stoleksemplet. Erstatt de 5 stolene med 5
gutter.
Om jentene velger stoler eller gutter er hipp som happ! Lykke til med
videre forberedelser.

Beste hilsen

Bent

http://www.uio.no/sok?person=bent

Med fare for å irritere noen som er flinkere enn meg...

Hvordan kan du si at dette er et stoleksempel? Det står jo i oppgaven at "vi setter opp par". Da er det en "tredje person" som velger, ikke jentene eller guttene.

Mens dersom vi lar enten guttene eller jentene velge partner, er det riktig med [tex]5! = 120[/tex] par.
____________________________________________________________________


1) Når første paret skal velges ut har vi: [tex]{5 \choose 1}{5 \choose 1}[/tex] kombinasjoner av par å sette opp.

Nå har vi 4 gutter og 4 jenter å velge mellom. Derfor:

2) Når andre paret skal velges ut har vi: [tex]{4 \choose 1}{4 \choose 1}[/tex] kombinasjoner av par å sette opp.

Nå har vi 3 gutter og 3 jenter å velge mellom. Derfor:

3) Når tredje paret skal velges ut har vi: [tex]{3 \choose 1}{3 \choose 1}[/tex] kombinasjoner av par å sette opp.

Nå har vi 2 gutter og 2 jenter å velge mellom. Derfor:

4) Når fjerde paret skal velges ut har vi: [tex]{2 \choose 1}{2 \choose 1}[/tex] kombinasjoner av par å sette opp.

Nå har vi 1 gutt og 1 jente å velge mellom. Derfor:

5) Når femte paret skal velges ut har vi: [tex]{1 \choose 1}{1 \choose 1}[/tex] kombinasjoner av par å sette opp.


Totalt: [tex]25+16+9+4+1=55[/tex] mulige par som vi kan sette opp.[/tex]

[ettam]

Hvordan kan du si at dette er et stoleksempel? Det står jo i oppgaven at "vi setter opp par". Da er det en "tredje person" som velger, ikke jentene eller guttene.

Trenger kanskje å forklare hvordan jeg oppfatter "vi setter opp par" her...

Jeg mener at oppgaveteksten sier at selve utvelgelsen av guttene og jentene til hvert par foregår tilfeldig (av "vi").

[izzy13]

Her kan man skille mellom guttene for eksempel:

g1, g2, g3, g4, g5.

g1 kan settes sammen med:
j1, j2, j3, j4, j5.

Det samme gjelder det 4 resterende guttene, og dermed blir det:

5 * 5 = 25 mulige kombinasjoner.

[KjetilEn]

Det er jo allerede gjort ganske klart at svaret er 5!.

25 er bare antall mulige kombinasjoner av ett par.

[Zoiros]

Hehehe.. Vi blir aldri ferdig med denne saken :p

[KjetilEn]

Før du føler deg fristet til å si at 5! er feil, tell gjerne gjennom fasiten og sjekk om det er riktig

{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}
{(1,1),(2,2),(3,3),(4,5),(5,4)}
{(1,1),(2,2),(3,4),(4,3),(5,5)}
{(1,1),(2,2),(3,4),(4,5),(5,3)}
{(1,1),(2,2),(3,5),(4,3),(5,4)}
{(1,1),(2,2),(3,5),(4,4),(5,3)}
{(1,1),(2,3),(3,2),(4,4),(5,5)}
{(1,1),(2,3),(3,2),(4,5),(5,4)}
{(1,1),(2,3),(3,4),(4,2),(5,5)}
{(1,1),(2,3),(3,4),(4,5),(5,2)}
{(1,1),(2,3),(3,5),(4,2),(5,4)}
{(1,1),(2,3),(3,5),(4,4),(5,2)}
{(1,1),(2,4),(3,2),(4,3),(5,5)}
{(1,1),(2,4),(3,2),(4,5),(5,3)}
{(1,1),(2,4),(3,3),(4,2),(5,5)}
{(1,1),(2,4),(3,3),(4,5),(5,2)}
{(1,1),(2,4),(3,5),(4,2),(5,3)}
{(1,1),(2,4),(3,5),(4,3),(5,2)}
{(1,1),(2,5),(3,2),(4,3),(5,4)}
{(1,1),(2,5),(3,2),(4,4),(5,3)}
{(1,1),(2,5),(3,3),(4,2),(5,4)}
{(1,1),(2,5),(3,3),(4,4),(5,2)}
{(1,1),(2,5),(3,4),(4,2),(5,3)}
{(1,1),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)}
{(1,2),(2,1),(3,3),(4,4),(5,5)}
{(1,2),(2,1),(3,3),(4,5),(5,4)}
{(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(5,5)}
{(1,2),(2,1),(3,4),(4,5),(5,3)}
{(1,2),(2,1),(3,5),(4,3),(5,4)}
{(1,2),(2,1),(3,5),(4,4),(5,3)}
{(1,2),(2,3),(3,1),(4,4),(5,5)}
{(1,2),(2,3),(3,1),(4,5),(5,4)}
{(1,2),(2,3),(3,4),(4,1),(5,5)}
{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,1)}
{(1,2),(2,3),(3,5),(4,1),(5,4)}
{(1,2),(2,3),(3,5),(4,4),(5,1)}
{(1,2),(2,4),(3,1),(4,3),(5,5)}
{(1,2),(2,4),(3,1),(4,5),(5,3)}
{(1,2),(2,4),(3,3),(4,1),(5,5)}
{(1,2),(2,4),(3,3),(4,5),(5,1)}
{(1,2),(2,4),(3,5),(4,1),(5,3)}
{(1,2),(2,4),(3,5),(4,3),(5,1)}
{(1,2),(2,5),(3,1),(4,3),(5,4)}
{(1,2),(2,5),(3,1),(4,4),(5,3)}
{(1,2),(2,5),(3,3),(4,1),(5,4)}
{(1,2),(2,5),(3,3),(4,4),(5,1)}
{(1,2),(2,5),(3,4),(4,1),(5,3)}
{(1,2),(2,5),(3,4),(4,3),(5,1)}
{(1,3),(2,1),(3,1),(4,4),(5,5)}
{(1,3),(2,2),(3,1),(4,5),(5,4)}
{(1,3),(2,2),(3,4),(4,1),(5,5)}
{(1,3),(2,2),(3,4),(4,5),(5,1)}
{(1,3),(2,2),(3,5),(4,1),(5,4)}
{(1,3),(2,2),(3,5),(4,4),(5,1)}
{(1,3),(2,1),(3,2),(4,4),(5,5)}
{(1,3),(2,1),(3,2),(4,5),(5,4)}
{(1,3),(2,1),(3,4),(4,2),(5,5)}
{(1,3),(2,1),(3,4),(4,5),(5,2)}
{(1,3),(2,1),(3,5),(4,2),(5,4)}
{(1,3),(2,1),(3,5),(4,4),(5,2)}
{(1,3),(2,4),(3,2),(4,1),(5,5)}
{(1,3),(2,4),(3,2),(4,5),(5,1)}
{(1,3),(2,4),(3,1),(4,2),(5,5)}
{(1,3),(2,4),(3,1),(4,5),(5,2)}
{(1,3),(2,4),(3,5),(4,2),(5,1)}
{(1,3),(2,4),(3,5),(4,1),(5,2)}
{(1,3),(2,5),(3,2),(4,3),(5,4)}
{(1,3),(2,5),(3,2),(4,4),(5,1)}
{(1,3),(2,5),(3,1),(4,2),(5,4)}
{(1,3),(2,5),(3,1),(4,4),(5,2)}
{(1,3),(2,5),(3,4),(4,2),(5,1)}
{(1,3),(2,5),(3,4),(4,3),(5,1)}
{(1,4),(2,2),(3,3),(4,1),(5,5)}
{(1,4),(2,2),(3,3),(4,5),(5,1)}
{(1,4),(2,2),(3,1),(4,3),(5,5)}
{(1,4),(2,2),(3,1),(4,5),(5,3)}
{(1,4),(2,2),(3,5),(4,3),(5,1)}
{(1,4),(2,2),(3,5),(4,1),(5,3)}
{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,5)}
{(1,4),(2,3),(3,2),(4,5),(5,1)}
{(1,4),(2,3),(3,1),(4,2),(5,5)}
{(1,4),(2,3),(3,1),(4,5),(5,2)}
{(1,4),(2,3),(3,5),(4,2),(5,1)}
{(1,4),(2,3),(3,5),(4,1),(5,2)}
{(1,4),(2,1),(3,2),(4,3),(5,5)}
{(1,4),(2,1),(3,2),(4,5),(5,3)}
{(1,4),(2,1),(3,3),(4,2),(5,5)}
{(1,4),(2,1),(3,3),(4,5),(5,2)}
{(1,4),(2,1),(3,5),(4,2),(5,3)}
{(1,4),(2,1),(3,5),(4,3),(5,2)}
{(1,4),(2,5),(3,2),(4,3),(5,1)}
{(1,4),(2,5),(3,2),(4,1),(5,3)}
{(1,4),(2,5),(3,3),(4,2),(5,1)}
{(1,4),(2,5),(3,3),(4,1),(5,2)}
{(1,4),(2,5),(3,1),(4,2),(5,3)}
{(1,4),(2,5),(3,1),(4,3),(5,2)}
{(1,5),(2,2),(3,3),(4,4),(5,1)}
{(1,5),(2,2),(3,3),(4,1),(5,4)}
{(1,5),(2,2),(3,4),(4,3),(5,1)}
{(1,5),(2,2),(3,4),(4,1),(5,3)}
{(1,5),(2,2),(3,1),(4,3),(5,4)}
{(1,5),(2,2),(3,1),(4,4),(5,3)}
{(1,5),(2,3),(3,2),(4,4),(5,1)}
{(1,5),(2,3),(3,2),(4,1),(5,4)}
{(1,5),(2,3),(3,4),(4,2),(5,1)}
{(1,5),(2,3),(3,4),(4,1),(5,2)}
{(1,5),(2,3),(3,1),(4,2),(5,4)}
{(1,5),(2,3),(3,1),(4,4),(5,2)}
{(1,5),(2,4),(3,2),(4,3),(5,1)}
{(1,5),(2,4),(3,2),(4,1),(5,3)}
{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}
{(1,5),(2,4),(3,3),(4,1),(5,2)}
{(1,5),(2,4),(3,1),(4,2),(5,3)}
{(1,5),(2,4),(3,1),(4,3),(5,2)}
{(1,5),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)}
{(1,5),(2,1),(3,2),(4,4),(5,3)}
{(1,5),(2,1),(3,3),(4,2),(5,4)}
{(1,5),(2,1),(3,3),(4,4),(5,2)}
{(1,5),(2,1),(3,4),(4,2),(5,3)}
{(1,5),(2,1),(3,4),(4,2),(5,3)}