Hei, jeg trenger hjelp med en oppgave her. Jeg har fasiten, men jeg er litt uenig i svaret det gir, så jeg ville satt pris på om noen her tolket oppgaven og ga meg sin mening på den:
Vi har ti ungdommer, 5 gutter og 5 jenter, de skal alle spille tennis. Det skal settes opp par med en gutt og en jente. Hvor mange ulike sammensetninger med fem par kan vi sette opp?
kombinatorikk 2mx
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
[tex]{5 \choose 1} \cdot {5 \choose 1} + {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 1} + {3 \choose 1} \cdot {3 \choose 1} + {2 \choose 1} \cdot {2 \choose 1} + {1 \choose 1} \cdot {1 \choose 1} + = 5 \cdot 5 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 25 + 16 + 9 + 4 +1 = 55[/tex]
edit:
Interessante diskusjoner her, men jeg holder fortsatt fast på mitt eget resonnement:
Vi har ganske enkelt et uordnet utvalg uten tilbakelegging. Samtidig som det er to trekkinger for hvert valg. Dette kombineres dermed ved å multiplisere hver av trekningene med hverandre.
edit:
Interessante diskusjoner her, men jeg holder fortsatt fast på mitt eget resonnement:
Vi har ganske enkelt et uordnet utvalg uten tilbakelegging. Samtidig som det er to trekkinger for hvert valg. Dette kombineres dermed ved å multiplisere hver av trekningene med hverandre.
Last edited by ettam on 27/05-2007 17:21, edited 2 times in total.
Er riktig den der..ettam wrote:[tex]{5 \choose 1} \cdot {5 \choose 1} + {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 1} + {3 \choose 1} \cdot {3 \choose 1} + {2 \choose 1} \cdot {2 \choose 1} + {1 \choose 1} \cdot {1 \choose 1} = 5 \cdot 5 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 25 + 16 + 9 + 4 +1 = 55[/tex]
Du starter med 5J og 5G, så tar du ut et par. Det er da 5*5=25 muligheter å velge blant dem.
Nå har du 4J og 4G, så tar du ut et par . Det er da 4*4= 16 muligheter å velge blant dem.
... så 9 muligheter, så 4 muligheter, ...
Så har du nå 1J og 1G så tar du ut det paret . Det er da bare 1*1=1 mulighet å velge.
Antall muligheter å velge blant blir da summen av disse del-mulighetene. Altså 25+16+9+4+1=55 muligheter
På skikkelig harbarka matteform kan vi generelt si at:
[tex]\sum_{n=0}^{\text{min}(g,j)-1}(g-n)(j-n),\text{ }g,j\in\mathbb{Z}\geq0\[/tex]
der g er antall gutter og j er antall jenter
[tex]\sum_{n=0}^{5-1}(5-n)(5-n)=\sum_{n=0}^{4}(5-n)^2=55[/tex]
Last edited by Zoiros on 27/05-2007 01:10, edited 3 times in total.
5*5 = 25 forteller hvor mange muligheter du har å velge mellom hvis du skal lage bare ett par.jjk wrote:Jeg tenkte og 5!, men løsningsforslaget til denne eksamen sier 5*5. Det er jo hvor mange par det finnes er det ikke?, og det er vel ikke det de spør om.
Hva du tenker på Ettam det skjønner jeg ikke?
løsningen blir vel 5! ettersom at det dere regner ut gir for mange svar. (Dere regnet det ut som en ordnet rekke, det er en uordnet..)
Tenk slik: vi kaller guttene for g1,g2,g3,g4,g5. og jentene for j1,j2,j3,j4,j5.
I følge deres utregning så blir disse 2 utrekningene forskjellige:
man trekker:
g1 og j1, g2 og j2, g3 og j3, g4 og j4, g5 og j5
men man kan og trekke:
g2 og j2, g1 og j1, g4 og j4, g3 og j3, g5 og j5.
i følge dere er dette 2 helt forskjellige utrekninger, men du sitter jo i praksis med de samme parene. Derfor blir den forlaringen på realisten en mye bedre måte å regne det ut på(og for såvidt den riktige). jeg siterer:
Tenk slik: vi kaller guttene for g1,g2,g3,g4,g5. og jentene for j1,j2,j3,j4,j5.
I følge deres utregning så blir disse 2 utrekningene forskjellige:
man trekker:
g1 og j1, g2 og j2, g3 og j3, g4 og j4, g5 og j5
men man kan og trekke:
g2 og j2, g1 og j1, g4 og j4, g3 og j3, g5 og j5.
i følge dere er dette 2 helt forskjellige utrekninger, men du sitter jo i praksis med de samme parene. Derfor blir den forlaringen på realisten en mye bedre måte å regne det ut på(og for såvidt den riktige). jeg siterer:
Tja, alle skal jo organiseres i par, så vi kan likeså greit stille opp guttene på rad og velge ut ei jente til hver av dem.
For den første gutten er det jo fem å velge i, han velger én, deretter er det fire valg for gutt nr. to, osv.
Totalt blir det [tex]5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5! [/tex] = 120mulige valg.
Begynner å bli enig med deg. Hvorfor blir vår måte å gjøre det feil? Skjønner at det er feil fordi 5! er rett men, hva er galt med tankegangen.etse wrote:løsningen blir vel 5! ettersom at det dere regner ut gir for mange svar. (Dere regnet det ut som en ordnet rekke, det er en uordnet..)
Tenk slik: vi kaller guttene for g1,g2,g3,g4,g5. og jentene for j1,j2,j3,j4,j5.
I følge deres utregning så blir disse 2 utrekningene forskjellige:
man trekker:
g1 og j1, g2 og j2, g3 og j3, g4 og j4, g5 og j5
men man kan og trekke:
g2 og j2, g1 og j1, g4 og j4, g3 og j3, g5 og j5.
i følge dere er dette 2 helt forskjellige utrekninger, men du sitter jo i praksis med de samme parene. Derfor blir den forlaringen på realisten en mye bedre måte å regne det ut på(og for såvidt den riktige). jeg siterer:Tja, alle skal jo organiseres i par, så vi kan likeså greit stille opp guttene på rad og velge ut ei jente til hver av dem.
For den første gutten er det jo fem å velge i, han velger én, deretter er det fire valg for gutt nr. to, osv.
Totalt blir det [tex]5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5! [/tex] = 120mulige valg.
Edit: Never mind.. står jo i begynnelsen av løsningsforslaget ditt.. ordnet vs uordnet.
Nå går dette i surr for meg.. Hvis vi mener at:
utvalg 1:
g1 og j1, g2 og j2, g3 og j3, g4 og j4, g5 og j5
utvalg 2:
g2 og j2, g1 og j1, g4 og j4, g3 og j3, g5 og j5.
er forskjellige og dere mener at det er det samme. Bør ikke vi da få et tall (55) som er større enn deres (120), siden vi har flere godkjente å telle blant.
Men tror jeg er enda enig i at 5! er rett.. Ingen matte grunn bare en følelse..
utvalg 1:
g1 og j1, g2 og j2, g3 og j3, g4 og j4, g5 og j5
utvalg 2:
g2 og j2, g1 og j1, g4 og j4, g3 og j3, g5 og j5.
er forskjellige og dere mener at det er det samme. Bør ikke vi da få et tall (55) som er større enn deres (120), siden vi har flere godkjente å telle blant.
Men tror jeg er enda enig i at 5! er rett.. Ingen matte grunn bare en følelse..
Man kan ordne n gjenstander i rekkefølge på n! måter.. 5! vil således ikke gi noen mening, siden det ikke sier noe om parene.
Mitt forslag (som flere andres):
vi har 5 gutter og 5 jenter å velge i par 1 = 5*5
4 g 4 j i par 2 (fordi det er en gutt og jente mindre) par 2 = 4*4 osv til og med 1*1 i siste par
(5*5)+(4*4)+(3*3)+(2*2)+(1*1)
rekkefølgen har ikke noen betydning siden ulik rekkefølge gir like par (uordnet utvalg). Når et par er valgt, er det 'en gutt og 'en jente mindre (altså ikke tilbakelegging) ..
[tex] {5\choose 1}{5\choose 1}+{4\choose 1}{4\choose 1}+{3\choose 1}{3\choose 1}+{2\choose 1}{2\choose 1}+{1\choose 1}{1\choose 1}[/tex]
Fordi :
Har man n gjenstander og skal velge ut k av dem uordnet uten tilbakelegging, kan vi da gjøre det på
[tex]{n\choose k}[/tex] forskjellige måter
Mitt forslag (som flere andres):
vi har 5 gutter og 5 jenter å velge i par 1 = 5*5
4 g 4 j i par 2 (fordi det er en gutt og jente mindre) par 2 = 4*4 osv til og med 1*1 i siste par
(5*5)+(4*4)+(3*3)+(2*2)+(1*1)
rekkefølgen har ikke noen betydning siden ulik rekkefølge gir like par (uordnet utvalg). Når et par er valgt, er det 'en gutt og 'en jente mindre (altså ikke tilbakelegging) ..
[tex] {5\choose 1}{5\choose 1}+{4\choose 1}{4\choose 1}+{3\choose 1}{3\choose 1}+{2\choose 1}{2\choose 1}+{1\choose 1}{1\choose 1}[/tex]
Fordi :
Har man n gjenstander og skal velge ut k av dem uordnet uten tilbakelegging, kan vi da gjøre det på
[tex]{n\choose k}[/tex] forskjellige måter
Last edited by Daggy on 27/05-2007 20:24, edited 1 time in total.
