Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
------------------------------------------------------------------------------------mrcreosote skrev:Det her kan løses ved rein analyse, men det blir penere og gøyere om vi bruker litt geometri. Jeg anbefaler deg å lese med papir og blyant:
Gitt en sirkel C i planet og et punkt P utafor sirkelen. Gjennom P kan vi trekke linjer. Disse linjene vil nødvendigvis skjære C i 0, 1 eller 2 punkter. Skjærer ei linje l sirkelen i ett punkt er l en tangent til C. Skjærer den C i to punkter vil vi kunne snakke om avstanden fra l til hvert av disse skjæringspunktene. Et punkts potens er definert som produktet av disse to avstandene. Det fine er at dette produktet er konstant, altså uavhengig av hvilken linje vi velger så lenge den skjærer sirkelen. Merk at hvis l er en tangent til sirkelen vil vi kunne beregne Ps potens med hensyn på C som kvadratet av avstanden fra P til tangeringspunktet. Jeg trur faktisk ikke at setninga er så forferdelig vanskelig å vise, og det fins helt sikkert bevis ute på nettet. Dessverre veit jeg ikke riktig hva det heter på engelsk. Anyone?
Hvordan kan vi så anvende dette i oppgava? Jo, P=(4,1) sin potens med hensyn på sirkelen S kan vi finne ved å trekke ei linje gjennom P og origo. Avstanden her finner vi lett til å være kvadratrota av 17, og ved en liten tegning ser vi at denne linja skjærer S to steder. Fra P til det første skjæringspunktet må avstanden være sqrt(17) minus radiusen i sirkelen, men fra P til det andre skjæringspunktet med sirkelen vil avstanden være sqrt(17) pluss radius. Produktet av disse to avstandene er [tex](\sqrt{17}-2)(\sqrt{17}+2)=13[/tex], så Ps potens mhp S er 13.
Dette bruker vi videre på denne måten: Kall tangeringspunktene A og B. Ved å bruke Ps potens mhp S veit vi at PA*PA=13 og altså PA=sqrt(13) Siden A ligger på S har vi A=(x,y)=(x,±sqrt(4-x^2)) og vi kan nå skrive opp et uttrykk avhengende av x for avstanden mellom P og A. Dette kan du! Men vi veit at dette uttrykket i x må være lik sqrt(13) fra Ps potens på S. Altså sitter du igjen med ei likning i x som du løse om du er komfortabel med andregradslikninger. Når du har løst denne, popper As koordinater ut, og du vil greit kunne finne likninga for linja mellom A og P. Tilsvarende for B selvfølgelig. (Dette vil muligens være "den andre" løsninga på andregradslikninga du fikk? Usikker, sjekk ut!)
Dette blei langt og sikkert tungt. Jeg skal ikke engang påstå at det er lettere å løse det på denne måten enn uten noe geometriske betraktninger som over. Det som imidlertid er sikkert er at setninga om et punkts potens med hensyn på en sirkel er noe som er fint å kunne.
