Hei er det noen som har klart å løse denne oppgaven? Jeg skjønte ikke hvordan å løse den helt...
Er det noen som har løst R2 Eksamen Våren 2025 del 2 oppgave 4?
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Om vi skriver om tallrekken nede til venstre litt, ser den slik ut:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{3}(\frac{1}{2})^3 + \frac{1}{4}(\frac{1}{2})^4 +\dots$
Antar vi at $x$ tilsvarer $\frac{1}{2}$, får vi skrevet den om til:
$x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4 +\dots$
Dette er ikke helt likt den uendelige rekken oppgaven starter med, nemlig $1+x+x^2+x^3+\dots$
Men det er faktisk lik integralet av denne rekken! Så for å evaluere tallrekken vår kan vi dermed bruke opplysningen om summen av integralene, og sette $x=\frac{1}{2}$ til slutt.
Integralet vi må evaluere er $\int\frac{1}{1-x}\mathrm{d}x = -\ln |{1-x}| \,\,\,(+C)$
Setter vi inn $x$-verdien får vi:
$-\ln |{1-\frac{1}{2}}| = -\ln |{-\frac{1}{2}}| = -\ln\frac{1}{2} = -\ln{1}+\ln{2} =\ln{2}$
Som var det vi skulle vise
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{3}(\frac{1}{2})^3 + \frac{1}{4}(\frac{1}{2})^4 +\dots$
Antar vi at $x$ tilsvarer $\frac{1}{2}$, får vi skrevet den om til:
$x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4 +\dots$
Dette er ikke helt likt den uendelige rekken oppgaven starter med, nemlig $1+x+x^2+x^3+\dots$
Men det er faktisk lik integralet av denne rekken! Så for å evaluere tallrekken vår kan vi dermed bruke opplysningen om summen av integralene, og sette $x=\frac{1}{2}$ til slutt.
Integralet vi må evaluere er $\int\frac{1}{1-x}\mathrm{d}x = -\ln |{1-x}| \,\,\,(+C)$
Setter vi inn $x$-verdien får vi:
$-\ln |{1-\frac{1}{2}}| = -\ln |{-\frac{1}{2}}| = -\ln\frac{1}{2} = -\ln{1}+\ln{2} =\ln{2}$
Som var det vi skulle vise
Takk for en super forklaring, SverR!solitaire bliss
Integrasjonsmåten din gir veldig god mening når man ser på den uendelige rekka som geometrisk og deriverer eller integrerer ledd for ledd. Fint tips å bruke Taylorrekken til ln(1 − x), det binder alt sammen på en ryddig måte. Liker også hvordan du endte opp med ln2 til slutt – elegant og presist!
Integrasjonsmåten din gir veldig god mening når man ser på den uendelige rekka som geometrisk og deriverer eller integrerer ledd for ledd. Fint tips å bruke Taylorrekken til ln(1 − x), det binder alt sammen på en ryddig måte. Liker også hvordan du endte opp med ln2 til slutt – elegant og presist!