Hei er det noen som har klart å løse denne oppgaven? Jeg skjønte ikke hvordan å løse den helt...
Er det noen som har løst R2 Eksamen Våren 2025 del 2 oppgave 4?
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Om vi skriver om tallrekken nede til venstre litt, ser den slik ut:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{3}(\frac{1}{2})^3 + \frac{1}{4}(\frac{1}{2})^4 +\dots$
Antar vi at $x$ tilsvarer $\frac{1}{2}$, får vi skrevet den om til:
$x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4 +\dots$
Dette er ikke helt likt den uendelige rekken oppgaven starter med, nemlig $1+x+x^2+x^3+\dots$
Men det er faktisk lik integralet av denne rekken! Så for å evaluere tallrekken vår kan vi dermed bruke opplysningen om summen av integralene, og sette $x=\frac{1}{2}$ til slutt.
Integralet vi må evaluere er $\int\frac{1}{1-x}\mathrm{d}x = -\ln |{1-x}| \,\,\,(+C)$
Setter vi inn $x$-verdien får vi:
$-\ln |{1-\frac{1}{2}}| = -\ln |{-\frac{1}{2}}| = -\ln\frac{1}{2} = -\ln{1}+\ln{2} =\ln{2}$
Som var det vi skulle vise
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{3}(\frac{1}{2})^3 + \frac{1}{4}(\frac{1}{2})^4 +\dots$
Antar vi at $x$ tilsvarer $\frac{1}{2}$, får vi skrevet den om til:
$x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4 +\dots$
Dette er ikke helt likt den uendelige rekken oppgaven starter med, nemlig $1+x+x^2+x^3+\dots$
Men det er faktisk lik integralet av denne rekken! Så for å evaluere tallrekken vår kan vi dermed bruke opplysningen om summen av integralene, og sette $x=\frac{1}{2}$ til slutt.
Integralet vi må evaluere er $\int\frac{1}{1-x}\mathrm{d}x = -\ln |{1-x}| \,\,\,(+C)$
Setter vi inn $x$-verdien får vi:
$-\ln |{1-\frac{1}{2}}| = -\ln |{-\frac{1}{2}}| = -\ln\frac{1}{2} = -\ln{1}+\ln{2} =\ln{2}$
Som var det vi skulle vise