La D være området i høyre halvplan (dvs. x ≥ 0) begrenset av kurvene y = x, y = −x og x^2 + y^2 = 1.
Tegn D og finn arealet og tyngdepunktet.
Areal mellom kurver
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Nå har det seg slik at vi jobber med et forholdsvis enkelt område, så vi slipper å bruke integraler sånn eksplisitt. Det burde være ganske enkelt å observere at det du skal finne arealet av er en kvartsirkel. Ergo får du ganske enkelt arealet [tex]\textrm{Areal}(D)=\frac{1}{4} \pi r^2[/tex].
Når det gjelder tyngdepunktet er det litt styggere å finne, men la gå;
Tyngdepunktet er gitt ved
$(\bar{x}, \bar{y})=\left(\frac{1}{A}\int_a^bx(f(x)-g(x))dx, \frac{1}{A}\int_a^b \frac{1}{2}(f(x)^2-g(x)^2)dx\right)$,
her er det dog lettere å finne tyngdepunktet av samme funksjon over $x$-aksen og snu du finner på hodet, da de er symmetriske uansett.
Da får du at
$(\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{4}{\pi r^2} \int_{-\sqrt{2}/2}^{\sqrt{2}/2}x(\sqrt{1-x^2}-|x|)dx=0, \frac{4}{\pi r^2} \int_{-\sqrt{2}/2}^{\sqrt{2}/2} \frac{1}{2}(1-x^2-|x|^2)=\frac{4}{3}\frac{\sqrt{2}}{\pi} \right)$.
Hvis vi så snur det på hodet får vi altså
$(\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{4\sqrt{2}}{3\pi},0\right) $
Når det gjelder tyngdepunktet er det litt styggere å finne, men la gå;
Tyngdepunktet er gitt ved
$(\bar{x}, \bar{y})=\left(\frac{1}{A}\int_a^bx(f(x)-g(x))dx, \frac{1}{A}\int_a^b \frac{1}{2}(f(x)^2-g(x)^2)dx\right)$,
her er det dog lettere å finne tyngdepunktet av samme funksjon over $x$-aksen og snu du finner på hodet, da de er symmetriske uansett.
Da får du at
$(\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{4}{\pi r^2} \int_{-\sqrt{2}/2}^{\sqrt{2}/2}x(\sqrt{1-x^2}-|x|)dx=0, \frac{4}{\pi r^2} \int_{-\sqrt{2}/2}^{\sqrt{2}/2} \frac{1}{2}(1-x^2-|x|^2)=\frac{4}{3}\frac{\sqrt{2}}{\pi} \right)$.
Hvis vi så snur det på hodet får vi altså
$(\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{4\sqrt{2}}{3\pi},0\right) $
Hvis du tegner opp funksjonene, som oppgaven spør om, kan du ganske enkelt se at funksjonene som avgrenses er likningen for en halvsirkel [tex]f(x)=\sqrt{r^2-x^2}, r>0[/tex] og absolutt verdien av $x$, $g(x)=|x|$Gjest wrote:Hvordan fant du hva f(x) og g(x) er?
-
Guest
Jeg har et annet spørsmål relatert til denne oppgaven.
La F(x,y) = (−y,x).
Finn linjeintegralet [tex]\oint_{\delta D}^{} F \cdot dr[/tex] både ved direkte utregning og ved å bruke Green’s teorem. (δD er randkurven til D, orientert mot klokka.)
La F(x,y) = (−y,x).
Finn linjeintegralet [tex]\oint_{\delta D}^{} F \cdot dr[/tex] både ved direkte utregning og ved å bruke Green’s teorem. (δD er randkurven til D, orientert mot klokka.)
Ved første øyekast vil jeg hinte til at du prøver å bruke Green's teorem.Gjest wrote:Jeg har et annet spørsmål relatert til denne oppgaven.
La F(x,y) = (−y,x).
Finn linjeintegralet [tex]\oint_{\delta D}^{} F \cdot dr[/tex] både ved direkte utregning og ved å bruke Green’s teorem. (δD er randkurven til D, orientert mot klokka.)
-
Guest
Hvordan løser jeg denne ved bruk av polarkoordinater?Gjest wrote:La D være området i høyre halvplan (dvs. x ≥ 0) begrenset av kurvene y = x, y = −x og x^2 + y^2 = 1.
Tegn D og finn arealet og tyngdepunktet.
