Areal mellom kurver

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Areal mellom kurver

Innlegg Gjest » 11/06-2020 10:55

La D være området i høyre halvplan (dvs. x ≥ 0) begrenset av kurvene y = x, y = −x og x^2 + y^2 = 1.

Tegn D og finn arealet og tyngdepunktet.
Gjest offline

Re: Areal mellom kurver

Innlegg Kay » 11/06-2020 12:25

Nå har det seg slik at vi jobber med et forholdsvis enkelt område, så vi slipper å bruke integraler sånn eksplisitt. Det burde være ganske enkelt å observere at det du skal finne arealet av er en kvartsirkel. Ergo får du ganske enkelt arealet [tex]\textrm{Areal}(D)=\frac{1}{4} \pi r^2[/tex].


Når det gjelder tyngdepunktet er det litt styggere å finne, men la gå;

Tyngdepunktet er gitt ved

$(\bar{x}, \bar{y})=\left(\frac{1}{A}\int_a^bx(f(x)-g(x))dx, \frac{1}{A}\int_a^b \frac{1}{2}(f(x)^2-g(x)^2)dx\right)$,

her er det dog lettere å finne tyngdepunktet av samme funksjon over $x$-aksen og snu du finner på hodet, da de er symmetriske uansett.

Da får du at

$(\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{4}{\pi r^2} \int_{-\sqrt{2}/2}^{\sqrt{2}/2}x(\sqrt{1-x^2}-|x|)dx=0, \frac{4}{\pi r^2} \int_{-\sqrt{2}/2}^{\sqrt{2}/2} \frac{1}{2}(1-x^2-|x|^2)=\frac{4}{3}\frac{\sqrt{2}}{\pi} \right)$.

Hvis vi så snur det på hodet får vi altså

$(\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{4\sqrt{2}}{3\pi},0\right) $
[tex]\rho \frac{D\textbf{v}}{Dt}=-\nabla p+\rho\textbf{g}+\mu \nabla^2\textbf{v}[/tex]
Kay online
Abel
Abel
Innlegg: 611
Registrert: 13/06-2016 18:23
Bosted: Gløshaugen

Re: Areal mellom kurver

Innlegg Gjest » 11/06-2020 16:12

Hvordan fant du hva f(x) og g(x) er?
Gjest offline

Re: Areal mellom kurver

Innlegg Kay » 11/06-2020 18:13

Gjest skrev:Hvordan fant du hva f(x) og g(x) er?


Hvis du tegner opp funksjonene, som oppgaven spør om, kan du ganske enkelt se at funksjonene som avgrenses er likningen for en halvsirkel [tex]f(x)=\sqrt{r^2-x^2}, r>0[/tex] og absolutt verdien av $x$, $g(x)=|x|$
[tex]\rho \frac{D\textbf{v}}{Dt}=-\nabla p+\rho\textbf{g}+\mu \nabla^2\textbf{v}[/tex]
Kay online
Abel
Abel
Innlegg: 611
Registrert: 13/06-2016 18:23
Bosted: Gløshaugen

Re: Areal mellom kurver

Innlegg Gjest » 11/06-2020 22:09

Jeg har et annet spørsmål relatert til denne oppgaven.

La F(x,y) = (−y,x).
Finn linjeintegralet [tex]\oint_{\delta D}^{} F \cdot dr[/tex] både ved direkte utregning og ved å bruke Green’s teorem. (δD er randkurven til D, orientert mot klokka.)
Gjest offline

Re: Areal mellom kurver

Innlegg Kay » 12/06-2020 12:57

Gjest skrev:Jeg har et annet spørsmål relatert til denne oppgaven.

La F(x,y) = (−y,x).
Finn linjeintegralet [tex]\oint_{\delta D}^{} F \cdot dr[/tex] både ved direkte utregning og ved å bruke Green’s teorem. (δD er randkurven til D, orientert mot klokka.)


Ved første øyekast vil jeg hinte til at du prøver å bruke Green's teorem.
[tex]\rho \frac{D\textbf{v}}{Dt}=-\nabla p+\rho\textbf{g}+\mu \nabla^2\textbf{v}[/tex]
Kay online
Abel
Abel
Innlegg: 611
Registrert: 13/06-2016 18:23
Bosted: Gløshaugen

Re: Areal mellom kurver

Innlegg Gjest » 12/06-2020 17:39

Jeg får ikke til den "direkte utregningen"
Gjest offline

Re: Areal mellom kurver

Innlegg josi » 13/06-2020 10:06

Gjest skrev:Jeg får ikke til den "direkte utregningen"


Har du informasjon om randkurven?
josi offline

Re: Areal mellom kurver

Innlegg Gjest » 13/06-2020 12:01

Randkurven er til område D gitt øverst i oppgaven
Gjest offline

Re: Areal mellom kurver

Innlegg Gjest » 13/06-2020 12:05

Gjest skrev:La D være området i høyre halvplan (dvs. x ≥ 0) begrenset av kurvene y = x, y = −x og x^2 + y^2 = 1.

Tegn D og finn arealet og tyngdepunktet.


Hvordan løser jeg denne ved bruk av polarkoordinater?
Gjest offline

Re: Areal mellom kurver

Innlegg Guest » 13/06-2020 13:41

Hei!

Hvordan fikk du kvadratroten til 2 delt på 2 i integralet? :)
Guest offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google Adsense [Bot] og 31 gjester