Derivering av brøkfunksjon med lnx

[Draugsvoll]

Heisann, jeg har nettopp begynt på høgskulen i Bergen på Elkraft teknikk, og går igjennom litt matte fra videregående for å forberede meg på studiene. Jeg kommer sikkert til å bli en aktiv bruker av dette forumet ^_^

Dette er oppgaven jeg sliter litt med:

f(x) = (lnx+x) / (lnx-x)

f'(x) = ?

[Aleks855]

Får du til å derivere teller og nevner hver for seg? Hvis du får til det, så er formelen for derivering av brøk veldig lett. Her er et eksempel på bruk av formelen.

[Nebuchadnezzar]

[tex]f(x) \:=\: \frac{\log x + x}{\log x - x}\:=\: \frac{(\log x - x) + 2x}{\log x - x}\:=\: 1 + 2\frac{x}{\log x - x}[/tex]

Herfra kan kvotientregelen (brøkregelen) som Alex lenka til brukes =)

[Draugsvoll]

[tex]f(x) \:=\: \frac{\log x + x}{\log x - x}\:=\: \frac{(\log x - x) + 2x}{\log x - x}\:=\: 1 + 2\frac{x}{\log x - x}[/tex]

Herfra kan kvotientregelen (brøkregelen) som Alex lenka til brukes =)

Kan brøkregelen ja, men skjønner ikke helt hva som skjer der før den skal tas i bruk.

[Nebuchadnezzar]

En valgfri omskrivning av funksjonen din, som gjør selve derivasjonen (i mine øyne) mye lettere. Legg merke til at

[tex]f(x) \:=\:\frac{(\log x - x) + 2x}{\log x - x} \:=\: \frac{(\log x - x)}{\log x - x} \,+\, \frac{2x}{\log x - x} \:=\: 1 \,+\, \frac{2x}{\log x - x}[/tex]

Siden [tex]x =-x + 2x[/tex], omskrivningen gjør teller enklere å derivere og 1`eren forsvinner bare. Selv ville jeg ha ført selve derivasjonen slik

[tex]f^\prime(x) \:=\: (1)^\prime \, +\, 2\left(\frac{x}{\log x - x}\right)^\prime\:=\:2\,\left( \frac{\left(\log x - x \right )\,-\,\left( 1 - x \right )}{\left(\log x - x \right )^2} \right )\: = \:2\,\frac{\log x - 1}{\left(\log x - x \right )^2}[/tex]

men det er nok litt for få mellomregninger for deg, du kan prøve å fylle inn eventuelle hull selv. 2`tallet er en konstant og kan settes utenfor derivasjonen, deretter blir som sagt kvotientregelen benyttet.