Likninger med lnx

[Pytagoras99]

Klarer ikke få noen forståelse for likninger med lnx ut ifra læreboka

3(lnx)^2-6lnx=0

[Vektormannen]

Du har en felles faktor [tex]\ln x[/tex] i begge ledd. Hva får du når du faktoriserer ut denne?

[Pytagoras99]

Hadde ikke 3 tallet stått først, og det da hadde stått:
(lnx)^2-6lnx=0

hadde jeg svart etter det jeg har forstått: lnx(lnx-4)
lnx=4 og e^4=54,60

men er helt blank her...

[Vektormannen]

Hvor fikk du 4-tallet fra? Det står jo 6 der.

Som jeg sa tidligere, begynn med å faktorisere ut ln x. Faktisk er jo 3 også en felles faktor i begge leddene, så den kan du også ta ut. Da får du:

[tex]3(\ln x)^2 - 6 \ln x = 3\ln x(\ln x - 2)[/tex]

Så ligningen din ser nå slik ut:

[tex]3\ln x (\ln x - 2) = 0[/tex]

Kan du løse denne?

[Pytagoras99]

skulle ha vært (lnx)^2-4(lnx)=0 ikke noe 6 tall på den forrige

nå har jeg 3lnx(lnx-2)=0

men skjønner fortsatt ikke hvordan man kommer frem til ønsket svar her

[Nebuchadnezzar]

1.) Dersom du vet at [tex]a\cdot b = 0[/tex]. Betyr dette at enten så er [tex]a=0[/tex] eller så er [tex]b=0[/tex].

2.) Generelt når noen uttrykk går igjen gjentatte ganger, kan det være lurt å bytte ut denne med en ny variabel.
Grunnen til at vi gjør dette, er at det blir mindre å skrive.
Og faktoriseringen blir llettere

[tex]3(\ln x)^2-6\ln x=0[/tex]

Sett [tex]u = \ln x[/tex] siden vi ser at [tex]\ln x [/tex]går igjen flere ganger.

[tex]3(u)^2-6u=0[/tex]
[tex]3u^2-6u=0[/tex]

Og den nederste burde du klare å løse =)

[Vektormannen]

Du skal finne x sånn at hver side er lik ikke sant? På høyre side har du 0. Du skal altså finne alle x-verdier som gjør at det produktet du har på venstre side blir 0. Er du enig i at det vil skje hver gang en av faktorene er 0? (Når du ganger sammen flere tall og et av dem er 0 så får du jo 0, sant?)

Det gir deg her to ligninger. Produktet [tex]3\ln x (\ln x - 2)[/tex] blir 0 når enten [tex]\ln x[/tex] er 0 eller når [tex]\ln x - 2[/tex] er 0. Altså får du:

[tex]\ln x = 0 \ \vee \ \ln x - 2 = 0[/tex]

Er resten greit da?