Egenverdier og egenvektorer, huffhuff

[MatDet]

Har slitt med samma oppgave i flere dager nå, og har innsett at jeg ikke kommer noe vei.

Oppgaven går ut på at jeg skal finne egenverdiene λ1 , λ2 , λ3 og egenvektorene, v1 , v2 , v3 til determinanten.

Determinanten ser sånn ut etter jeg har satt inn λ1 , λ2 , λ3:

0.7 - λ ... 0.1 ....... 0.2
0.2 ........ 0.8 - λ ... 0.3
0.1 ........ 0.1 ........ 0.5 - λ

Videre skriver jeg :

(0.7 - λ)( (0.8 - λ)(0.5 - λ) - (0.3 * 0.1) ) - 1( (0.2 (0.5 - λ) - (0.3 * 0.1) ) + 0.2( (0.2 * 0.2) - (0.8 - λ) * 0.1)

Etter litt utregning kommer jeg frem til dette:

(0.7 - λ) ( λ^2 - 1.48λ + 0.228)


Og det er her det hele stopper, i oppgave teksten står "Dere får et karakteristisk polynom av grad 3".

Lurer egentlig på hva jeg gjør feil og hvordan jeg skal fortsette med oppgaven.

-Takk og beklager hvis det ble rotete

[wingeer]

Du har ikke gjort noe feil. Hva skjer om du ganger ut uttrykket du har fått? Du får et polynom av grad 3. Dette er det karakteristiske polynomet det blir skrevet om. Svært kjedelige tall å jobbe med, men dersom du knoter litt skal det gå greit. Klarer du det videre fra der?

[MatDet]

Så "svaret" jeg har kommet frem til et riktig? Har egentlig ikke gjort noe videre da jeg var ganske sikker på at det var feil :p

[Nebuchadnezzar]

[tex]0.240-1.24\lambda+2.0{\lambda}^2-{\lambda}^3[/tex]

Er den riktige formen

Så ja, du har regnet litt feil.

[MatDet]

Takk til begge, da ble det riktig.

[Vilje]

Jeg sliter fortsatt med denne jeg. Jeg får likningen til å bli
-x^3+2x^2-1.27x+0.253 så hva gjør jeg feil?

(0.7-x)((0.8-x)(0.5-x)-(0.1)(0.3))-(0.1)((0.2)(0.1)-(0.1)(0.8-x))+(0.2)((0.2)(0.1)-(0.1)(0.8-x)=

(0.7-x)(0.37-1.3x+x^2)-(0.1)(-0.06+0.1x)+(0.2)(-0.06+0.1x)=

(0.259-0.91x+0.7x^2-0.37x+1.3x^2-x^3)-(-0.006+0.01x)+(-0.012+0.02x)=

0.259-0.91x+0.7x^2-0.37x+1.3x^2-x^3+0.006-0.01x-0.012+0.02x =

-x^3+1.3x^2+0.7x^2-0.91x-0.37x-0.01x+0.02x+0.259+0.006-0.012=

-x^3+2x^2-1,27x+0.253 , x er lik lamda men hva gjør jeg galt her i starten??? Hjælp. håpte å gjøre denne oppgaven ferdig i helga.

[Nebuchadnezzar]

Slik regner jeg ut determinanter



For enkelhetsskyld ganger vi matrisen først med 10 før vi begynner å regne på determinantene.

[tex]A = 10\left[ {\begin{array}{0.7 - \lambda } & {0.1} & {0.2} \\{0.2} & {0.8 - \lambda } & {0.3} \\{0.1} & {0.1} & {0.5 - \lambda } \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{7 - 10\lambda } & 1 & 2 \\2 & {8 - 10\lambda } & 3 \\1 & 1 & {5 - 10\lambda } \\\end{array}} \right] \\ [/tex]

[tex] Det\left( A \right) = a + b + c \[/tex]


[tex] a = \left( {7 - 10\lambda } \right) \cdot \left( {8 - 10\lambda } \right) \cdot \left( {5 - 10\lambda } \right) - 1 \cdot \left( {8 - 10\lambda } \right) \cdot 2 = - 1000{\lambda ^3} + 2000{\lambda ^2} - 1290\lambda + 264 [/tex]


[tex] b = 1 \cdot 3 \cdot 1 - \left( {7 - 10\lambda } \right) \cdot 3 \cdot 1 = 30\lambda - 18 [/tex]


[tex] c = 2 \cdot 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 \cdot \left( {5 - 10\lambda } \right) = 20\lambda - 6 [/tex]



[tex] Det\left( A \right) = \left( { - 1000{\lambda ^3} + 2000{\lambda ^2} - 1290\lambda + 264} \right) + \left( {30\lambda - 18} \right) + \left( {20\lambda - 6} \right) [/tex]

[tex] Det\left( A \right) = - 1000{\lambda ^3} + 2000{\lambda ^2} - 1240\lambda + 240 [/tex]



[tex] a = \left( {7 - 10\lambda } \right) \cdot \left( {8 - 10\lambda } \right) \cdot \left( {5 - 10\lambda } \right) - 1 \cdot \left( {8 - 10\lambda } \right) \cdot 2 [/tex]

[tex] a = \left( {7 - 10\lambda } \right)\left[ {40 - 130\lambda + 100{\lambda ^2}} \right] - 16 + 20\lambda [/tex]

[tex]a = \left( {280 - 910\lambda + 700{\lambda ^2}} \right) + \left( { - 400\lambda + 1300{\lambda ^2} - 1000{\lambda ^3}} \right) - 16 + 20\lambda [/tex]

[tex]a = - 1000{\lambda ^3} + 2000{\lambda ^2} - 1290\lambda + 264[/tex]

[wingeer]

Det er jo fullt mulig å gange hele matrisen med 10. Husk bare da at du får egenverdier av typen [tex]\lambda = 10 \cdot \lambda_0[/tex] hvor [tex]\lambda_0[/tex] er egenverdiene til den originale matrisen.

[HN91]

Jeg sliter også med samme oppgave! Har klart å regne ut egenverdiene, men skjønner ikke hvordan jeg skal bruke disse til å finne egenvektorene. Noen som kan hjelpe?

Fra oppgaven får vi oppgitt som en liten hjelp at for egenverdi = 1, er egenvektoren v1 = (7, 13, 4)
Noen som kan vise fremgangsmåten?

[Nebuchadnezzar]

Er det ikke bare å lete etter en matrise som er slik at

[tex]Ax = \lambda x ? [/tex]

Der x er matrisen du leter etter. Du vet jo allerede [tex]A[/tex] og [tex]\lambda[/tex]

[tex]\left[ \matrix{\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3} \right][/tex]

[HN91]

Fikk det til. Takk for hjelpen:)[/u]

[MatDet]

ok, står fast igjen

Ser vi på matrisen i første post ser vi at summen av tallene i hver kolonne blir 1. Dette medfører at den ene egenverdien også blir 1. Kan du gi et teoretisk argument for dette?

Har faktisk ikke peiling, noen som kan lede meg på riktig vei ?