Tarzan liane banelengde

[Nebuchadnezzar]

Tarzan som har masen [tex]m[/tex] slenger seg fra en masseløs grein med lengden [tex]l[/tex]. Utgangsfarten til Tarzan er [tex]0[/tex], og vinkelen er 90grader.
Etter en stund slipper Tarzan greina og "flyr".

1) Hva er den lengste avstanden Tarzan kan reise i luften ?



Nå antar vi at Tarzan er ubetydelig liten, og at greina akkuratt sveiper over bakken. Ingen rotasjon i luften osv.

Kort oppfølger om dette ble for lett ^^

2) Tarzan slipper taket i greina etter [tex]t[/tex] sekunder, hvor lang kommer han; horisontalt,vertikalt, og totalt

[Charlatan]

Tenker du avstand i luften i forhold til bakken, eller avstand gjennom luften?

[Nebuchadnezzar]

Avstand gjennom luften, selv kommer jeg frem til et integral jeg ikke klarer å løse.
Lengste jeg kommer er et integral som gir meg buelengden når jeg vet høyden og lengden l.

[Charlatan]

Hvis vi lar [tex]\theta[/tex] være vinkelen mellom lianen og x-aksen idèt han slipper, så har vi av energibetrakninger at

[tex]v= \sqrt{2 g l \sin \theta}[/tex]

Vektorformen til plassering blir da:

[tex]v(t) = [v\sin \theta t , v\cos \theta t +l(1-\sin \theta) - \frac{g}{2}t^2][/tex]

Det betyr at han treffer bakken ved [tex]t_1 = \frac{v \cos \theta + \sqrt{(v \cos \theta)^2+2gl(1-\sin \theta) } }{g}[/tex]

For å finne buelengden må vi regne ut integralet

[tex]I=\int^{t_0}_0 \sqrt{(v\sin \theta)^2+(v\cos \theta-gt)^2} dt = \int^{t_0}_0 v\sin \theta \sqrt{1+\left(\frac{gt-v \cos \theta}{v \sin \theta}\right)^2 } dt[/tex]

[tex]u = \frac{gt-v \cos \theta}{v \sin \theta}[/tex]

[tex]I = \frac{(v\sin \theta)^2}{g} \int^{u(t_0)}_{u(0)} \sqrt{1+u^2 } du[/tex]

Ved å bruke substitusjonen [tex]u = \sinh \phi[/tex] får vi

[tex]I( \theta ) = \frac{(v \sin \theta)^2}{2g} \left[ u\sqrt{u^2+1}+\log(u+\sqrt{u^2+1}) \right]^{u(t_0)}_{u(0)} \\ = l \left( \sqrt{1-\sin^3 \theta} + \sin \theta \cos \theta + \sin^3 \theta \log\left( \frac{1+\sqrt{1-\sin^3 \theta} }{\sqrt{\sin \theta }(1-\cos \theta)} \right) \right)[/tex]

Dette groteske uttrykket for [tex]I ( \theta)[/tex] er altså buelengden. Deriverer vi denne med hensyn på [tex]\theta[/tex] kan vi finne maksimalverdien til denne. Det akter jeg ikke å gjøre manuelt.

Interessant nok kan vi bemerke oss at buelengden ikke avhenger av [tex]g[/tex]. Dessuten avhenger ikke den optimale vinkelen av [tex]l[/tex].



La [tex]x = \sin \theta[/tex]. Da får vi at

[tex]I(\theta) =l \left( \sqrt{1-x^3} + x \sqrt{1-x^2} + x^3 \log\left( \frac{1+\sqrt{1-x^3} }{\sqrt{x }(1-\sqrt{1-x^2})} \right) \right)[/tex]

Denne kan vi maksimere, men har ikke verktøyet for hånd.

EDIT: Jeg har gjort noen forandringer, for å rette opp i det som var gjort feil.

[Nebuchadnezzar]

Kan skrive ned det jeg gjorde da =)

Her ser vi at det eneste som spiller en rolle for hvor langt buelengden er, er lengden av tauet. Vinkelen spiller ingen rolle, heller ikke farten. Så målet blir ikke å finne en optimal utgangsvinkel eller en optimal utgangsfart.

La oss si at tarzan er h meter over bakken, da får vi at.

[tex]v = \sqrt {2g\left( {l - h} \right)} [/tex]

Utslagsvinkelen er den samme som utgangsvinkelen, denne kan vi uttrykke slik

[tex]\alpha = \arccos \left( {\frac{{l - h}}{l}} \right)[/tex] < kan det være en idè og heller bruke sinus her ?

Vi kan uttrykke posisjonen til tarzan, om han slipper seg fra høyden h slik.

[tex]x = v \cdot \cos \alpha \cdot t = \sqrt {2g\left( {l - h} \right)} \cdot \cos \left( {\frac{{l - h}}{l}} \right) \cdot t[/tex]

[tex] y = v \cdot \sin \alpha \cdot t - g \cdot t^2 + h = \sqrt {2g\left( {l - h} \right)} \cdot \sin \left( {\arccos \left( {\frac{{l - h}}{l}} \right)} \right) \cdot t - gt^2 + h \\ y = \sqrt {2g\left( {l - h} \right)} \cdot \sqrt {1 - \left( {\frac{{l - h}}{l}} \right)^2 } \cdot t - gt^2 + h [/tex]

Tiden det tar før personen treffer bakken er

[tex]t_0 = \frac{1}{2}\frac{{\,\sqrt 2 \left( {\sqrt { - g\left( { - l + h} \right)} \sqrt { - \frac{{h\left( { - 2\,l + h} \right)}}{{l^2 }}} l + \sqrt {gh\left( {4\,l^2 - 3\,lh + h^2 } \right)} } \right)}}{{gl}}[/tex]

Buelengden blir dermed

[tex]\int_{0}^{t_0} \, sqrt{(x^{\prime})^2+(y^{\prime})^2} dt[/tex]

Så tar man å deriverer dette uttrykket for å finne den maksimale avstanden, tror jeg. Kunne sikkert brukt tid til å enten omforme h eller t, men det orker jeg ikke nå ^^

EDIT

Jeg har løst oppgaven med dynamisk verktøy, og da fant jeg ut at vinkelen var ca 47.9069 og banelengden var ca 1.18040*l

[Gommle]

Her ser vi at det eneste som spiller en rolle for hvor langt buelengden er, er lengden av tauet. Vinkelen spiller ingen rolle, heller ikke farten. Så målet blir ikke å finne en optimal utgangsvinkel eller en optimal utgangsfart.

Sikker på det? Jeg er ganske sikker på at en som slipper tauet ved 90 grader reiser kortere enn en som slipper ved 45 grader.

[Charlatan]

[tex] y = v \cdot \sin \alpha \cdot t - g \cdot t^2 + h [/tex]

Her (og utover) skal det vel være [tex]-\frac{g}{2}t^2[/tex].

Jeg har forsåvidt samme innvending som Gommle. Utgangsvinkelen påvirker buelengden. Hvis han slipper like ved bakken blir buen svært liten.

[Nebuchadnezzar]

Selvfølgelig spiller farten og vinkelen en rolle, det jeg mente er at begge to kan uttrykkes ved hjelp av lengden på snoren.

Og selvfølgelig skald et være -\frac{1}{2}g ja. Prøvde å maksimere den funksjonen din Charlatan, men programmet mitt streiket.

[Charlatan]

Selvfølgelig spiller farten og vinkelen en rolle, det jeg mente er at begge to kan uttrykkes ved hjelp av lengden på snoren.

At buelengden kan uttrykkes ved hjelp av lengden på snoren betyr jo at en forskjellig vinkel ikke medfører en forskjellig buelengde, ettersom snorlengden er en konstant. Du har uttrykt farten din ved å bruke lengden over bakken [tex]h[/tex], men [tex]h[/tex] er en funksjon av vinkelen, ikke bare snoren.

Jeg har forresten en mistanke om at jeg har gjort en feil etsted når jeg kom fram til likningen for buelengden, får se om jeg får rettet opp i det.

EDIT: Hvis du oppdaget det: jeg kom til å endre innlegget ditt, istedenfor å sitere det - men fikk skiftet det tilbake.

EDIT2: Nå er formelen forandret, tror det skal være riktig. For at det ikke skal være noen tvil, er formelen nå:

[tex]f(x) = l \left( \sqrt{1-x^3} + x \sqrt{1-x^2} + x^3 \log\left( \frac{1+\sqrt{1-x^3} }{\sqrt{x }(1-\sqrt{1-x^2})} \right) \right)[/tex]

Denne er enklere enn den forrige, men lar seg ikke optimere for hånd (antar jeg).

[Charlatan]

Fikk laget en graf, og den tar maksimalverdien ved [tex]x \approx 0.7435[/tex], og det vil si [tex]\theta \approx 48.02^{\circ}[/tex].

Det gir en buelengde på [tex]\approx l \cdot 2.0871[/tex].