Lykkelige tall

[Karl_Erik]

Et tall kalles lykkelig dersom det kan skrives som summen av to kvadrattall. Om et tall ikke er lykkelig kalles det ulykkelig.

1. Vis at dersom [tex]n[/tex] er lykkelig er også [tex]2n[/tex] lykkelig.

2. Vis at dersom [tex]n[/tex] er lykkelig er [tex]3n[/tex] ulykkelig.

Oppgaven er tatt fra en eldre Abelfinale.

[Knuta]

Jeg råka ut for ei ulykke

1.
[tex] n=4^2+4^2=32 [/tex]
[tex]2n=64[/tex] Så vidt jeg vet så finnes det ikke 2 kvadrattall som blir 64

[Gustav]

Jeg råka ut for ei ulykke

1.
[tex] n=4^2+4^2=32 [/tex]
[tex]2n=64[/tex] Så vidt jeg vet så finnes det ikke 2 kvadrattall som blir 64

Gjelder også det enda enklere eksempelet

[tex]n=1^2+1^2=2[/tex]

Noe må være feil i oppgaveteksten. Kanskje man kan tillate 0 som kvadrattall eller at lykkelige tall er summen av to ulike kvadrattall...

[Emilga]

Kanskje lykkelige tall bare er en utopi?

[mrcreosote]

Ingen grunn til at 0 ikke skal regnes som et kvadrattall, og da er oppgava mulig å løse.

[Gustav]

Ingen grunn til at 0 ikke skal regnes som et kvadrattall, og da er oppgava mulig å løse.

Vel, det er et definisjonsspørsmål.

Da er i så fall denne wiki-artikkelen feil: http://no.wikipedia.org/wiki/Kvadrattall

[mrcreosote]

Jada, enig at det kan være et definisjonsspørsmål, men som du tidligere sa er det naturlig at 0 regnes som et kvadrattall her.

Wikipediårtikkelen er heller ikke god, først står det at 0 er et kvadrattall og siden at det ikke er det.

[Karl_Erik]

Ved nøyere gjennomlesning av oppgaveteksten ser jeg at det strengt tatt sto at [tex]n[/tex] er lykkelig dersom det finnes hele tall [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] slik at [tex]n=a^2 + b^2[/tex], men jeg husket det av en eller annen grunn som "summen av to kvadrattall". Har man betenkeligheter med dette funker det også å utvide definisjonen av et lykkelig tall til "Et tall som er summen av høyst to kvadrattall.", men ja. Utifra oppgaveteksten er altså 64 lykkelig. Beklager eventuell forvirring jeg har forårsaket med den upresise formuleringen jeg brukte.

[Charlatan]

Kan ta 2.

La oss si at [tex]n=a^2+b^2[/tex], og at [tex]3n=3a^2+3b^2=x^2+y^2[/tex].

La [tex]3^{c_1}||x[/tex], og [tex]3^{d_1}||y[/tex]. På samme måte lar vi [tex]3^{c_2}||a[/tex], og [tex]3^{d_2}||b[/tex]. Uten tap av generalitet lar vi [tex]c_1 \leq d_1[/tex], og [tex]c_2 \leq d_2[/tex].

Vi definerer [tex]a_0[/tex] slik: [tex]3^{c_1}a_0=a[/tex], og [tex]b_0,x_0[/tex] og [tex]y_0[/tex] på tilsvarende måte.

Da har vi at [tex]3^{2c_1+1}(a_0^2+3^{2(d_1-c_1)}b_0^2)=3^{2c_2}(x_0^2+3^{2(d_2-c_2)}y_0^2)[/tex], som under modulo 3 medfører at [tex]2c_1+1=2c_2[/tex], en motsigelse.

[tex]3n[/tex] er altså ulykkelig.

[Gustav]

1)

[tex](n-m)^2+(n+m)^2=2(n^2+m^2)[/tex].