Eulers identitet

Tallet som forener e, i og \pi

Tallet som forener de tre fundamentale matematiske konstantene e, i og \pi er Euler's identitet:

<math>e^{i\pi} + 1 = 0</math>

Dette regnes ofte som en av de vakreste ligningene i matematikk, fordi den elegant kobler sammen fem av de viktigste tallene i matematikk:

• e (Eulers tall, ca. 2,718) – grunnlaget for naturlige logaritmer og eksponentiell vekst.
• i (den imaginære enheten, definert som <math>i^2 = -1</math>) – grunnleggende i kompleks analyse.
• \pi (pi, ca. 3,14159) – forholder seg til sirkler og trigonometri.
• 1 – den multiplikative identiteten.
• 0 – den additive identiteten.

Euler oppdaget denne sammenhengen ved å studere komplekse eksponentialfunksjoner, spesielt formelen:

<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>

Setter vi <math>x = \pi</math>, får vi:

<math>e^{i\pi} = \cos \pi + i\sin \pi = -1 + 0i = -1</math>

Legger vi til 1, får vi Euler’s identitet. Denne forbindelsen mellom eksponentialfunksjoner, trigonometriske funksjoner og komplekse tall er helt sentral i matematikk og fysikk.

Regneeksempler på bruk

Beregning av komplekse eksponentielle uttrykk

Ved hjelp av Euler’s formel:

<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>

kan vi regne ut eksponentielle uttrykk med komplekse eksponenter.

Eksempel: Beregn <math>e^{i\pi/4}</math>.

Bruk Euler’s formel med <math>x = \frac{\pi}{4}</math>:

<math>e^{i\pi/4} = \cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4)</math>

Siden <math>\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}</math>, får vi:

<math>e^{i\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}</math>

Regning med komplekse tall i polarkoordinater

Komplekse tall kan skrives på formen <math>z = re^{i\theta}</math>, der r er absoluttverdien og θ er argumentet.

Eksempel: Multipliser de komplekse tallene <math>z_1 = 2e^{i\pi/3}</math> og <math>z_2 = 3e^{i\pi/6}</math>.

Bruk regelen for multiplikasjon av komplekse tall i eksponentiell form:

<math>z_1 \cdot z_2 = (2e^{i\pi/3}) \cdot (3e^{i\pi/6})</math>

<math>= 2 \cdot 3 \cdot e^{i(\pi/3 + \pi/6)}</math>

<math>= 6e^{i\pi/2}</math>

Fra Euler’s formel vet vi at <math>e^{i\pi/2} = i</math>, så:

<math>6e^{i\pi/2} = 6i</math>

Bevis for trigonometriske identiteter

Euler’s formel kan brukes til å bevise trigonometriske identiteter.

Eksempel: Bevis at <math>\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}</math>.

Fra Euler’s formel:

<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x, \quad e^{-ix} = \cos x - i\sin x</math>

Legger vi sammen disse to uttrykkene:

<math>e^{ix} + e^{-ix} = (\cos x + i\sin x) + (\cos x - i\sin x)</math>

<math>= 2\cos x</math>

<math>\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}</math>

Dette er en kjent identitet i matematikk.

Løsning av differensialligninger

Euler's formel brukes ofte til å løse differensialligninger i fysikk og ingeniørfag.

Eksempel: Løs ligningen <math>y + y = 0</math>.

Den karakteristiske ligningen er:

<math>r^2 + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad r = \pm i</math>

Den generelle løsningen er derfor:

<math>y(t) = C_1 e^{it} + C_2 e^{-it}</math>

Ved å bruke Euler’s formel kan dette skrives som:

<math>y(t) = C_1 (\cos t + i\sin t) + C_2 (\cos t - i\sin t)</math>

Siden <math>C_1</math> og <math>C_2</math> kan justeres, får vi den vanlige løsningen:

<math>y(t) = A\cos t + B\sin t</math>

som er en kjent løsning for harmoniske svingninger.

Konklusjon

Euler's formel og identitet har bred anvendelse i komplekse tall, trigonometri, fysikk og ingeniørvitenskap!