Eulers identitet
Tallet som forener e, i og $\pi$
Tallet som forener de tre fundamentale matematiske konstantene e, i og $\pi$ er Euler's identitet:
\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]
Dette regnes ofte som en av de vakreste ligningene i matematikk, fordi den elegant kobler sammen fem av de viktigste tallene i matematikk:
- e (Eulers tall, ca. 2,718) – grunnlaget for naturlige logaritmer og eksponentiell vekst.
- i (den imaginære enheten, definert som <math>i^2 = -1</math>) – grunnleggende i kompleks analyse.
- $\pi$ (pi, ca. 3,14159) – forholder seg til sirkler og trigonometri.
- 1 – den multiplikative identiteten.
- 0 – den additive identiteten.
Euler oppdaget denne sammenhengen ved å studere komplekse eksponentialfunksjoner, spesielt formelen:
<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>
Setter vi <math>x = \pi</math>, får vi:
<math>e^{i\pi} = \cos \pi + i\sin \pi = -1 + 0i = -1</math>
Legger vi til 1, får vi Euler’s identitet. Denne forbindelsen mellom eksponentialfunksjoner, trigonometriske funksjoner og komplekse tall er helt sentral i matematikk og fysikk.
Regneeksempler på bruk
Beregning av komplekse eksponentielle uttrykk
Ved hjelp av Euler’s formel:
<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>
kan vi regne ut eksponentielle uttrykk med komplekse eksponenter.
Eksempel: Beregn <math>e^{i\pi/4}</math>.
Bruk Euler’s formel med <math>x = \frac{\pi}{4}</math>:
<math>e^{i\pi/4} = \cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4)</math>
Siden <math>\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}</math>, får vi:
<math>e^{i\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
Regning med komplekse tall i polarkoordinater
Komplekse tall kan skrives på formen <math>z = re^{i\theta}</math>, der r er absoluttverdien og θ er argumentet.
Eksempel: Multipliser de komplekse tallene <math>z_1 = 2e^{i\pi/3}</math> og <math>z_2 = 3e^{i\pi/6}</math>.
Bruk regelen for multiplikasjon av komplekse tall i eksponentiell form:
<math>z_1 \cdot z_2 = (2e^{i\pi/3}) \cdot (3e^{i\pi/6})</math>
<math>= 2 \cdot 3 \cdot e^{i(\pi/3 + \pi/6)}</math>
<math>= 6e^{i\pi/2}</math>
Fra Euler’s formel vet vi at <math>e^{i\pi/2} = i</math>, så:
<math>6e^{i\pi/2} = 6i</math>
Bevis for trigonometriske identiteter
Euler’s formel kan brukes til å bevise trigonometriske identiteter.
Eksempel: Bevis at <math>\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}</math>.
Fra Euler’s formel:
<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x, \quad e^{-ix} = \cos x - i\sin x</math>
Legger vi sammen disse to uttrykkene:
<math>e^{ix} + e^{-ix} = (\cos x + i\sin x) + (\cos x - i\sin x)</math>
<math>= 2\cos x</math>
<math>\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}</math>
Dette er en kjent identitet i matematikk.
Løsning av differensialligninger
Euler's formel brukes ofte til å løse differensialligninger i fysikk og ingeniørfag.
Eksempel: Løs ligningen <math>y + y = 0</math>.
Den karakteristiske ligningen er:
<math>r^2 + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad r = \pm i</math>
Den generelle løsningen er derfor:
<math>y(t) = C_1 e^{it} + C_2 e^{-it}</math>
Ved å bruke Euler’s formel kan dette skrives som:
<math>y(t) = C_1 (\cos t + i\sin t) + C_2 (\cos t - i\sin t)</math>
Siden <math>C_1</math> og <math>C_2</math> kan justeres, får vi den vanlige løsningen:
<math>y(t) = A\cos t + B\sin t</math>
som er en kjent løsning for harmoniske svingninger.
Konklusjon
Euler's formel og identitet har bred anvendelse i komplekse tall, trigonometri, fysikk og ingeniørvitenskap!