Integrasjon II

Forskjellen mellom dobbel og trippel integrasjon for volum

Både dobbel integrasjon og trippel integrasjon kan brukes til å beregne volum, men de anvendes i ulike situasjoner avhengig av hvordan volumet er beskrevet.

• **Dobbel integrasjon** brukes når volumet kan beskrives som området under en funksjon \( z = f(x,y) \) over et gitt område i planet.
• **Trippel integrasjon** brukes når volumet må beskrives i hele rommet, dvs. når man jobber med en funksjon \( f(x,y,z) \) innenfor et tredimensjonalt område.

Dobbel integrasjon brukes altså når høyden \( z \) kan uttrykkes eksplisitt som en funksjon av \( x \) og \( y \), mens trippel integrasjon er nødvendig når volumet har en mer kompleks struktur i tre dimensjoner.

Eksempler på dobbel integrasjon

Eksempel 1: Volumet under en paraboloide

Finn volumet av området under paraboloiden \( z = 4 - x^2 - y^2 \) over sirkelskiven \( x^2 + y^2 \leq 4 \).

Løsning: Vi bruker polarkoordinater: \[ V = \iint_D (4 - x^2 - y^2) \, dA \] I polarkoordinater (\( x = r\cos\theta \), \( y = r\sin\theta \)): \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2) r \, dr \, d\theta \]

Eksempel 2: Volum mellom to flater

Finn volumet mellom flatene \( z = x^2 + y^2 \) og \( z = 2 - x^2 - y^2 \) over området \( x^2 + y^2 \leq 1 \).

Løsning: Volumet er gitt ved integralet: \[ V = \iint_D [(2 - x^2 - y^2) - (x^2 + y^2)] \, dA \] I polarkoordinater: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (2 - 2r^2) r \, dr \, d\theta \]

Eksempler på trippel integrasjon

Eksempel 3: Volum av en kule

Finn volumet av en kule med radius \( R \), gitt ved \( x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2 \).

Løsning: Bruk kulekoordinater (\( x = r\sin\theta\cos\phi \), \( y = r\sin\theta\sin\phi \), \( z = r\cos\theta \)): \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^R r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi \]

Eksempel 4: Volum av et tetraeder

Finn volumet av tetraederet med hjørner i \( (0,0,0) \), \( (a,0,0) \), \( (0,b,0) \) og \( (0,0,c) \).

Løsning: Integrasjonsgrenser bestemmes av planlikningen \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \), så volumet er: \[ V = \int_0^a \int_0^{b(1 - x/a)} \int_0^{c(1 - x/a - y/b)} dz \, dy \, dx \]