Transformasjon

Hvorfor bruker vi transformasjoner?

Transformasjoner som Laplace og Fourier brukes fordi de gjør komplekse problemer enklere å løse, spesielt:

Løsning av differensialligninger → omgjøres til algebraiske ligninger.
Analyse av systemer → f.eks. hvordan et elektrisk krets reagerer på forskjellige innganger.
Frekvensanalyse → finne hvilke frekvenser som er tilstede i et signal (som lyd, strøm, vibrasjoner).
Forståelse av stabilitet og respons i kontrollsystemer og mekaniske systemer.

Konkrete eksempler

Eksempel 1: Laplacetransformasjon

Problem: Finn responsen i en elektrisk RC-krets (motstand + kondensator) med inngangsspenning:

<math> u(t) = 5 \cdot \text{Heaviside}(t) </math> (dvs. 5V skrus på ved t = 0)

Kretsen har:

R = 1 kΩ
C = 1 μF

Trinn 1: Modell

Differensialligning fra Kirchhoffs lover:

Trinn 2: Laplacetransformer

Antar <math> v(0) = 0 </math>:

Trinn 3: Invers Laplace

Standard form gir:

Tolkning

Dette er spenningen over kondensatoren. Den øker eksponentielt mot 5V når bryteren slås på.

---

Eksempel 2: Fouriertransformasjon

Problem: Analyser frekvensinnholdet i et signal:

Dette kan representere et elektrisk signal med to sinuskomponenter (50 Hz og 120 Hz).

Trinn 1: Bruk Fourier-transformen

Bruk kjente transformpar:

<math> \mathcal{F}\{\sin(2\pi ft)\} = \frac{j\pi}{j}[\delta(\omega - 2\pi f) - \delta(\omega + 2\pi f)] </math>

Resultat:

<math> F(\omega) = \frac{j\pi}{j}[\delta(\omega - 2\pi \cdot 50) - \delta(\omega + 2\pi \cdot 50)] +

\frac{0.5j\pi}{j}[\delta(\omega - 2\pi \cdot 120) - \delta(\omega + 2\pi \cdot 120)] </math>

Tolkning

Signalet inneholder to frekvenser:

50 Hz (amplitude 1)
120 Hz (amplitude 0.5)

Praktisk betydning

I Laplace-eksemplet så vi hvordan man kan modellere tidssvar og transienter i et elektrisk system.
I Fourier-eksemplet fant vi hvilke frekvenser et signal består av – nyttig i støyfiltrering og lydbehandling.

Andre typer transformasjoner

1. Z-transformasjonen

Bruk

Brukes i analyse av diskrete/digitale systemer (f.eks. digitale filtre, DSP).
Diskret motstykke til Laplace-transformen.
Gjør det enklere å løse lineære differanseligninger.

Definisjon

<math> \mathcal{Z}\{x[n]\} = X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} </math>

Eksempel

Gitt et system med forskjellsligning:

Anta <math> x[n] = \delta[n] </math> (enhetsimpuls), og <math> y[-1] = 0 </math>.

Z-transform:

Løs:

<math> Y(z)(1 - 0.5z^{-1}) = 1 \Rightarrow Y(z) = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}} = \frac{z}{z - 0.5} </math>

Invers Z-transform:

Tolkning

Systemet gir en eksponentielt avtagende respons – typisk for stabile digitale filtre.

---

2. Fourierrekker

Bruk

Brukes til å representere periodiske signaler.
Viktig i elektriske nettanalyser, musikk-teknologi, vibrasjonsanalyse.

Definisjon

For en periodisk funksjon <math> f(t) </math> med periode <math> T </math>:

<math> f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n t}{T} \right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n t}{T} \right) \right] </math>

Eksempel

La <math> f(t) = \begin{cases} 1, & 0 < t < \pi \\ -1, & \pi < t < 2\pi \end{cases} </math> (periodisk firkantpuls, T = 2π)

Dette er en odde funksjon → kun sinuskomponenter (bₙ):

<math> b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin\left(\frac{2\pi n t}{T} \right) dt = \frac{4}{n\pi},\; n\;\text{oddetall} </math>

Fourierrekke:

<math> f(t) = \frac{4}{\pi} \left( \sin(t) + \frac{1}{3}\sin(3t) + \frac{1}{5}\sin(5t) + \dots \right) </math>

Tolkning

Et firkantbølge kan uttrykkes som en uendelig sum av sinusformede bølger – viktig for signalrekonstruksjon og spektralanalyse.

---

3. Wavelet-transformasjonen

Bruk

Brukes i tids-frekvensanalyse, f.eks. bildekomprimering (JPEG2000), hjernesignalanalyse (EEG), seismologi.
Til forskjell fra Fourier gir den god oppløsning både i tid og frekvens.

Hovedidé

I stedet for å bruke sinusbølger bruker man korte "bølger" (wavelets) som er skalert og forskjøvet.

Kontinuerlig wavelet-transform:

<math> W(a,b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \psi^*\left( \frac{t - b}{a} \right) dt </math>

Eksempel

La <math> f(t) = e^{-t^2} </math> (Gauss-funksjon), og bruk en "Morlet wavelet".

Wavelet-transformen gir en detaljert representasjon av hvor energien i signalet er konsentrert i tid og skala.

Tolkning

Mens Fouriertransformen viser hvilke frekvenser som er tilstede, viser wavelet også *når* disse frekvensene oppstår – perfekt for analyse av ikke-stasjonære signaler.

---

4. Hilbert-transformasjon (kort)

Brukes for å lage den analytiske representasjonen av et signal.
Vanlig i signalbehandling for å beregne innhylning og fase.

---

5. Mellin-transformasjon (kort)

Brukes i skala-invariant bildeanalyse og fraktalanalyse.
Koblet til Laplace-transformen via endring av variabler.

Sammenligningstabell

Transformasjon	Bruksområde	Kontinuerlig / Diskret	Tidsinfo	Frekvensinfo
Laplace	Elektriske kretser, kontrollsystemer	Kontinuerlig	Ja	Ja
Fourier	Signalprosessering, lyd, bilde	Kontinuerlig	Nei	Ja
Z-transform	Digitale systemer, DSP	Diskret	Ja	Ja
Fourierrekker	Periodiske signaler	Kontinuerlig	Nei	Ja (diskret)
Wavelet	Ikke-stasjonære signaler, komprimering	Begge	Ja	Ja (multioppløsning)