Transformasjon

Hvorfor bruker vi transformasjoner?

Transformasjoner som Laplace og Fourier brukes fordi de gjør komplekse problemer enklere å løse, spesielt:

Løsning av differensialligninger → omgjøres til algebraiske ligninger.
Analyse av systemer → f.eks. hvordan et elektrisk krets reagerer på forskjellige innganger.
Frekvensanalyse → finne hvilke frekvenser som er tilstede i et signal (som lyd, strøm, vibrasjoner).
Forståelse av stabilitet og respons i kontrollsystemer og mekaniske systemer.

Konkrete eksempler

Hva er en transformasjon?

En transformasjon i matematikk er en metode som endrer formen på et problem slik at det blir lettere å analysere eller løse. I konteksten av ingeniørfag og anvendt matematikk brukes transformasjoner ofte til å:

Omgjøre funksjoner fra ett domene til et annet (f.eks. fra tid → frekvens).
Forenkle komplekse operasjoner (som derivasjon og konvolusjon).
Identifisere egenskaper som ikke er åpenbare i det opprinnelige domenet.

Eksempel:

Differensialligninger i tidsdomenet kan være vanskelige å løse direkte, men ved å transformere problemet til et annet domene (f.eks. frekvensdomenet), kan de reduseres til algebraiske ligninger.

Transformasjonene er ofte reversible: vi kan løse problemet i transformert domene, og deretter gå tilbake (invers transformasjon) for å finne løsningen i opprinnelig domene.

---

Konvolusjon

( == Hva er konvolusjon? ==

'Konvolusjon er en matematisk operasjon som kombinerer to funksjoner til én ny funksjon. I teknisk sammenheng beskriver det typisk hvordan et system responderer på et inputsignal.

Intuisjon

Konvolusjon svarer på spørsmålet:

"Hva skjer når dette signalet går gjennom dette systemet?"

Eksempel:

Signalet <math> x(t) </math> representerer lyd inn i et rom.
Systemets impulsrespons <math> h(t) </math> beskriver hvordan rommet reagerer på en kort lyd.
Da er det faktiske lydsignalet vi hører:

---

Matematisk definisjon

Kontinuerlig konvolusjon

<math> (f * g)(t) = \int_{0}^{\infty} f(\tau)g(t - \tau)\,d\tau </math>

<math> \tau </math> er en "løpevariabel" – vi integrerer over alle tidligere tidspunkt.
Dette regner summen av "forsinkede kopier" av funksjonen <math> g \</math>, vektet av <math> f(\tau) </math>.

Diskret konvolusjon

I digitale systemer brukes summen:

---

Visuell tolkning

Konvolusjon innebærer:

Snu den ene funksjonen (f.eks. <math> h(t) \rightarrow h(-\tau) </math>)
Skyv den langs tidsaksen
Multipliser punkt for punkt med den andre funksjonen
Integrer (eller summer) produktet

---

Eksempel: Kontinuerlig konvolusjon

La:

<math> x(t) = u(t) </math> (enhetstrinn)
<math> h(t) = e^{-t}u(t) </math>

Beregn:

Bytt variabel:

<math> y(t) = \int_0^t e^{-(t - \tau)} d\tau = \left[ -e^{-(t - \tau)} \right]_0^t = 1 - e^{-t} </math>

Tolkning

Et system med eksponentielt dempet impulsrespons reagerer gradvis på en plutselig inngang.

---

Konvolusjon i Laplace og Fourier

Konvolusjon i tid tilsvarer multiplikasjon i frekvens (og omvendt):

Domene	Operasjon
Tid	<math> y(t) = x(t) * h(t) </math>
Laplace	<math> Y(s) = X(s) \cdot H(s) </math>
Fourier	<math> Y(\omega) = X(\omega) \cdot H(\omega) </math>

Derfor er transformasjoner så nyttige: De gjør konvolusjon (som kan være tungvint) til enkel multiplikasjon.

---

Bruksområder

Signalbehandling: Lyd- og bildeeffekter, filtre, støyreduksjon.
Elektronikk: Systemers respons på signaler.
Kontrollteori: Bestemme hvordan system reagerer på styringssignaler.
Maskinlæring: Konvolusjonsnevrale nettverk (CNN) bruker 2D-konvolusjon for å gjenkjenne mønstre i bilder.

---

Eksempel: Diskret konvolusjon i digital filterdesign

La:

<math> x[n] = \{1, 2, 3\} </math> – et kort signal
<math> h[n] = \{1, -1\} </math> – et enkelt filter

Beregn:

Hvordan?

n	Beregning	y[n]
0	<math> 1 \cdot 1 </math>	1
1	<math> 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) </math>	1
2	<math> 3 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) </math>	1
3	<math> 3 \cdot (-1) </math>	-3

Tolkning

Filteret fremhever endringer mellom verdier – typisk for kantdeteksjon i bilder.

---

Oppsummering

Konvolusjon er en kjerneoperasjon i systemanalyse og signalbehandling, og:

Modellering av systemrespons
Kombinasjon av signal og impulsrespons
Sentralt i både kontinuerlig og diskret tid
Forenkles gjennom Laplace- og Fourier-transformasjoner

Den sier rett og slett: "Gitt at jeg vet hvordan systemet reagerer på en liten impuls – hvordan reagerer det da på et helt signal?" )

Laplace-transformasjonen: En dypere forklaring

Hva er Laplace-transformasjonen?

Laplace-transformasjonen er en teknikk for å analysere systemer og løse differensialligninger ved å transformere en funksjon av tid <math> f(t) </math> til en funksjon av en kompleks variabel <math> s = \sigma + j\omega </math>.

Definisjon:

<math> \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st} \, dt </math>

Her:

<math> t \geq 0 </math> (transformasjonen er ensidig).
<math> s </math> er en kompleks variabel: <math> s = \sigma + j\omega </math>.

Intuisjon:

Laplace-transformen:

Bryter ned <math> f(t) </math> i eksponentielle komponenter.
Måler hvor mye av "modifiserte eksponentialer" <math> e^{st} </math> som finnes i signalet.
Inkluderer en eksponentiell vekst/demping (via <math> \sigma </math>) → derfor mer generell enn Fourier.

Bruksområder

Løse lineære differensialligninger (initialverdiproblemer).
Analyse av elektriske og mekaniske systemer.
Modellering og simulering av dynamiske systemer.
Kontrollsystemer og overføringsfunksjoner.

---

Eksempel: Løse en differensialligning

Problem: Løs:

<math> y(t) + 3y'(t) + 2y(t) = \delta(t) </math>, med <math> y(0) = 0, y'(0) = 0 </math>

Trinn 1: Ta Laplace-transformen

Bruk kjente transformpar:

<math> \mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0) </math>
<math> \mathcal{L}\{y(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) </math>
<math> \mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1 </math>

Setter inn:

Trinn 2: Faktoriser og løs

Trinn 3: Delbrøkoppspalting

Finn A og B:

<math> A = 1,\; B = -1 </math>

Trinn 4: Invers Laplace

Bruk tabell:

<math> \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\} = e^{-at} \cdot u(t) </math>

Resultat:

Tolkning

Dette er et system (f.eks. en elektrisk krets) som reagerer på et "støt" (Diracs delta), og deretter roer seg ned eksponentielt.

---

Viktige egenskaper

Lineæritet:

 <math> \mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s) </math>

Derivasjon:

 <math> \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0) </math>

Konvolusjon:

 <math> \mathcal{L}\{f * g\} = F(s)G(s) </math>

Forskyvning i tid:

 <math> \mathcal{L}\{f(t - a)u(t - a)\} = e^{-as}F(s) </math>

---

Region of Convergence (ROC)

Laplace-transformen er bare definert for de verdier av <math> s </math> der integralet konvergerer. Dette området kalles konvergensregionen og bestemmer stabilitet og kausalitet for systemet.

---

Oppsummering

Laplace-transformasjonen er en kraftig metode som:

Generaliserer Fourier-transformasjonen.
Gjør det enklere å løse differensialligninger.
Gir både tids- og frekvensinformasjon.
Er standardverktøy i analyse av kontrollsystemer, signalbehandling og elektronikk.

Den er spesielt nyttig når systemet starter på et tidspunkt (t = 0) og man ønsker å modellere dets respons fra det punktet og utover.

Eksempel: Lydsignal med fire frekvenser

Signal i tidsdomenet

La oss definere et lydsignal \(x(t)\) som en sum av fire sinuskomponenter med ulike frekvenser og amplituder: <math> x(t) = \cos(2\pi \cdot 100\,t)

    + 0{,}8\,\cos(2\pi \cdot 300\,t)
    + 0{,}6\,\cos(2\pi \cdot 500\,t)
    + 0{,}4\,\cos(2\pi \cdot 800\,t)

\end{math}

Her er:

\(f_1 = 100\)\,Hz, amplitude \(A_1 = 1\)
\(f_2 = 300\)\,Hz, amplitude \(A_2 = 0{,}8\)
\(f_3 = 500\)\,Hz, amplitude \(A_3 = 0{,}6\)
\(f_4 = 800\)\,Hz, amplitude \(A_4 = 0{,}4\)

Fouriertransformasjon

Vi bruker definisjonen <math> \displaystyle X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-\,j2\pi f t}\,dt \end{math> og kjenner at <math> \mathcal{F}\{\cos(2\pi f_k t)\}(f) = \tfrac12\,[\delta(f - f_k) + \delta(f + f_k)]. </math>

Dermed blir totaltransformen <math> \begin{aligned} X(f) &= \tfrac12\bigl[\delta(f-100)+\delta(f+100)\bigr] \\ &\quad+ 0{,}4\bigl[\delta(f-300)+\delta(f+300)\bigr] \\ &\quad+ 0{,}3\bigl[\delta(f-500)+\delta(f+500)\bigr] \\ &\quad+ 0{,}2\bigl[\delta(f-800)+\delta(f+800)\bigr]. \end{aligned} </math>

Tolkning

I frekvensdomenet ser vi åtte impulser (delta-funksjoner): to for hver frekvens (\(\pm f_k\)).
Høyden på hver impuls er halvparten av amplituden i tidsdomenet (\(A_k/2\)).
Dette viser tydelig at signalet kun inneholder de fire harmoniske komponentene 100 Hz, 300 Hz, 500 Hz og 800 Hz.

Diskret eksempel (valgfritt)

Hvis vi i stedet tar en kort prøvetaking av \(x(t)\) ved samplingsfrekvens \(f_s = 4000\)\,Hz og N = eight samples, kan vi bruke DFT og se tilsvarende piksler i frekvensaksen ved indeksene \(k = f_k\cdot N/f_s\). Dette bekrefter at fire distinkte frekvenskomponenter dominerer spekteret.

Eksempel 1: Laplacetransformasjon

Problem: Finn responsen i en elektrisk RC-krets (motstand + kondensator) med inngangsspenning:

<math> u(t) = 5 \cdot \text{Heaviside}(t) </math> (dvs. 5V skrus på ved t = 0)

Kretsen har:

R = 1 kΩ
C = 1 μF

Trinn 1: Modell

Differensialligning fra Kirchhoffs lover:

Trinn 2: Laplacetransformer

Antar <math> v(0) = 0 </math>:

Trinn 3: Invers Laplace

Standard form gir:

Tolkning

Dette er spenningen over kondensatoren. Den øker eksponentielt mot 5V når bryteren slås på.

---

Eksempel 2: Fouriertransformasjon

Problem: Analyser frekvensinnholdet i et signal:

Dette kan representere et elektrisk signal med to sinuskomponenter (50 Hz og 120 Hz).

Trinn 1: Bruk Fourier-transformen

Bruk kjente transformpar:

<math> \mathcal{F}\{\sin(2\pi ft)\} = \frac{j\pi}{j}[\delta(\omega - 2\pi f) - \delta(\omega + 2\pi f)] </math>

Resultat:

<math> F(\omega) = \frac{j\pi}{j}[\delta(\omega - 2\pi \cdot 50) - \delta(\omega + 2\pi \cdot 50)] +

\frac{0.5j\pi}{j}[\delta(\omega - 2\pi \cdot 120) - \delta(\omega + 2\pi \cdot 120)] </math>

Tolkning

Signalet inneholder to frekvenser:

50 Hz (amplitude 1)
120 Hz (amplitude 0.5)

Praktisk betydning

I Laplace-eksemplet så vi hvordan man kan modellere tidssvar og transienter i et elektrisk system.
I Fourier-eksemplet fant vi hvilke frekvenser et signal består av – nyttig i støyfiltrering og lydbehandling.

Andre typer transformasjoner

1. Z-transformasjonen

Bruk

Brukes i analyse av diskrete/digitale systemer (f.eks. digitale filtre, DSP).
Diskret motstykke til Laplace-transformen.
Gjør det enklere å løse lineære differanseligninger.

Definisjon

<math> \mathcal{Z}\{x[n]\} = X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} </math>

Eksempel

Gitt et system med forskjellsligning:

Anta <math> x[n] = \delta[n] </math> (enhetsimpuls), og <math> y[-1] = 0 </math>.

Z-transform:

Løs:

<math> Y(z)(1 - 0.5z^{-1}) = 1 \Rightarrow Y(z) = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}} = \frac{z}{z - 0.5} </math>

Invers Z-transform:

Tolkning

Systemet gir en eksponentielt avtagende respons – typisk for stabile digitale filtre.

---

2. Fourierrekker

Bruk

Brukes til å representere periodiske signaler.
Viktig i elektriske nettanalyser, musikk-teknologi, vibrasjonsanalyse.

Definisjon

For en periodisk funksjon <math> f(t) </math> med periode <math> T </math>:

<math> f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n t}{T} \right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n t}{T} \right) \right] </math>

Eksempel

La <math> f(t) = \begin{cases} 1, & 0 < t < \pi \\ -1, & \pi < t < 2\pi \end{cases} </math> (periodisk firkantpuls, T = 2π)

Dette er en odde funksjon → kun sinuskomponenter (bₙ):

<math> b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin\left(\frac{2\pi n t}{T} \right) dt = \frac{4}{n\pi},\; n\;\text{oddetall} </math>

Fourierrekke:

<math> f(t) = \frac{4}{\pi} \left( \sin(t) + \frac{1}{3}\sin(3t) + \frac{1}{5}\sin(5t) + \dots \right) </math>

Tolkning

Et firkantbølge kan uttrykkes som en uendelig sum av sinusformede bølger – viktig for signalrekonstruksjon og spektralanalyse.

---

3. Wavelet-transformasjonen

Bruk

Brukes i tids-frekvensanalyse, f.eks. bildekomprimering (JPEG2000), hjernesignalanalyse (EEG), seismologi.
Til forskjell fra Fourier gir den god oppløsning både i tid og frekvens.

Hovedidé

I stedet for å bruke sinusbølger bruker man korte "bølger" (wavelets) som er skalert og forskjøvet.

Kontinuerlig wavelet-transform:

<math> W(a,b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \psi^*\left( \frac{t - b}{a} \right) dt </math>

Eksempel

La <math> f(t) = e^{-t^2} </math> (Gauss-funksjon), og bruk en "Morlet wavelet".

Wavelet-transformen gir en detaljert representasjon av hvor energien i signalet er konsentrert i tid og skala.

Tolkning

Mens Fouriertransformen viser hvilke frekvenser som er tilstede, viser wavelet også *når* disse frekvensene oppstår – perfekt for analyse av ikke-stasjonære signaler.

---

4. Hilbert-transformasjon (kort)

Brukes for å lage den analytiske representasjonen av et signal.
Vanlig i signalbehandling for å beregne innhylning og fase.

---

5. Mellin-transformasjon (kort)

Brukes i skala-invariant bildeanalyse og fraktalanalyse.
Koblet til Laplace-transformen via endring av variabler.

Sammenligningstabell

Transformasjon	Bruksområde	Kontinuerlig / Diskret	Tidsinfo	Frekvensinfo
Laplace	Elektriske kretser, kontrollsystemer	Kontinuerlig	Ja	Ja
Fourier	Signalprosessering, lyd, bilde	Kontinuerlig	Nei	Ja
Z-transform	Digitale systemer, DSP	Diskret	Ja	Ja
Fourierrekker	Periodiske signaler	Kontinuerlig	Nei	Ja (diskret)
Wavelet	Ikke-stasjonære signaler, komprimering	Begge	Ja	Ja (multioppløsning)