Transformasjon

Hvorfor bruker vi transformasjoner?

Transformasjoner som Laplace og Fourier brukes fordi de gjør komplekse problemer enklere å løse, spesielt:

• Løsning av differensialligninger → omgjøres til algebraiske ligninger.
• Analyse av systemer → f.eks. hvordan et elektrisk krets reagerer på forskjellige innganger.
• Frekvensanalyse → finne hvilke frekvenser som er tilstede i et signal (som lyd, strøm, vibrasjoner).
• Forståelse av stabilitet og respons i kontrollsystemer og mekaniske systemer.

Konkrete eksempler

Eksempel 1: Laplacetransformasjon

Problem: Finn responsen i en elektrisk RC-krets (motstand + kondensator) med inngangsspenning:

<math> u(t) = 5 \cdot \text{Heaviside}(t) </math> (dvs. 5V skrus på ved t = 0)

Kretsen har:

• R = 1 kΩ
• C = 1 μF

Trinn 1: Modell

Differensialligning fra Kirchhoffs lover:

<math> RC \frac{dv(t)}{dt} + v(t) = u(t) </math>

Trinn 2: Laplacetransformer

<math> RC(sV(s) - v(0)) + V(s) = \frac{5}{s} </math>

Antar <math> v(0) = 0 </math>:

<math> (RCs + 1)V(s) = \frac{5}{s} </math>

<math> V(s) = \frac{5}{s(RCs + 1)} = \frac{5}{s(0.001s + 1)} </math>

Trinn 3: Invers Laplace

Standard form gir:

<math> v(t) = 5(1 - e^{-t/RC}) = 5(1 - e^{-1000t}) \; [\text{Volt}]</math>

Tolkning

Dette er spenningen over kondensatoren. Den øker eksponentielt mot 5V når bryteren slås på.

---

Eksempel 2: Fouriertransformasjon

Problem: Analyser frekvensinnholdet i et signal:

<math> f(t) = \sin(2\pi \cdot 50t) + 0.5\sin(2\pi \cdot 120t) </math>

Dette kan representere et elektrisk signal med to sinuskomponenter (50 Hz og 120 Hz).

Trinn 1: Bruk Fourier-transformen

Bruk kjente transformpar:

<math> \mathcal{F}\{\sin(2\pi ft)\} = \frac{j\pi}{j}[\delta(\omega - 2\pi f) - \delta(\omega + 2\pi f)] </math>

Resultat:

<math> F(\omega) = \frac{j\pi}{j}[\delta(\omega - 2\pi \cdot 50) - \delta(\omega + 2\pi \cdot 50)] +

\frac{0.5j\pi}{j}[\delta(\omega - 2\pi \cdot 120) - \delta(\omega + 2\pi \cdot 120)] </math>

Tolkning

Signalet inneholder to frekvenser:

• 50 Hz (amplitude 1)
• 120 Hz (amplitude 0.5)

Praktisk betydning

• I Laplace-eksemplet så vi hvordan man kan modellere tidssvar og transienter i et elektrisk system.
• I Fourier-eksemplet fant vi hvilke frekvenser et signal består av – nyttig i støyfiltrering og lydbehandling.