Integral

[dahle-g]

Hei!
Nokon som kan hjelpe med denne,
tenkte delvis integrasjon, men kom ikkje mål.
Så tenkte eg substitusjon, men kom ikkje i mål

OPpgæve
Integralet til kvadratrota til(1+x^2)

[Heraclitus]

Skal være mulig med trig sub her.

Den er på formen[tex] \int \sqrt{a^2+u^2} du[/tex]

Hvor a > 0

[Mattebruker]

Problem : [tex]\int[/tex] [tex]\sqrt{1 + x^2}[/tex] dx
NB! Registrerer at x kan gå frå -[tex]\infty[/tex] til + [tex]\infty[/tex]. Her er det freistande å bruke x = tanu som "stedfortredar ", u [tex]\in[/tex]<-[tex]\frac{\pi }{2}[/tex], [tex]\frac{\pi }{2}[/tex]>



Da får vi dx = [tex]\frac{1}{cos^{2}u}[/tex] du [tex]\wedge[/tex] [tex]\sqrt{1 + x^2}[/tex] = [tex]\frac{1}{cosu}[/tex] som gir


[tex]\int[/tex] [tex]\sqrt{1 + x^2}[/tex] dx = [tex]\int[/tex][tex]\frac{1}{cos^{3}u}[/tex] du

Kva så med vegen vidare ? Ei mogleg løysing vil vere å utvide integranden med cosu, og deretter innføre endå ein ny variabel ( setje sinu = v ) . Da endar vi opp med

integralet [tex]\int[/tex][tex]\frac{1}{(1 - v^{2})^{2}}[/tex] dv

Denne integranden kan vi relativt lett splitte opp ettersom [tex]\frac{1}{1 - v^{2}}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\cdot[/tex]( [tex]\frac{1}{1 - v}[/tex] + [tex]\frac{1}{1+v}[/tex] ). Det som no står att burde vere " grei skuring " ( bruke 1. kvadratsetning og integrere ledd for ledd ). God fornøyelse !

P.S. Vil slett ikkje utelukke at der finnast ei enklare løysing på dette problemet.
Uansett kan vi kontrollere sluttsvaret ved derivasjon ( da skal vi kome tilbake til den opphavelege integranden ).

[jos]

En annen måte å gå videre fra $\int{\frac{1}{cos^3u}}du\,$ er delvis integrasjon hvor $\frac{1}{cos^2u}$ er $u´$.
Denne veien er rimelig kjapp hvis man allerede kjenner til at $\int{\frac{1}{cosu}}du = ln\frac{1 + sinu}{cosu} + C$.

[dahle-g]

Hei!
Når eg bruker Integral calculator
får eg følgande

(ln(kvadratrot(x^2 + 1) + x) + x kvadratrot(x*2+1))/2

Korleis kjem ein fram til dette svaret

[jos]

Vel, du har jo allerede fått noen tips på veien. Legg merke til at hvis $ x = tanu,\,$ så vil $\frac{1}{cosu} = \sqrt{1 + x^2}$ og $ \frac{1}{2}ln(\frac{1}{cosu} + tanu) = \frac{1}{2}ln(\sqrt{1 + x^2} + x)$. Her har du altså den ene halvdelen av svaret.