harmoniske svingninger

[Guest]

Konsentrasjonen av en miljøgift varierer periodisk med en periode på 12 måneder. Kall
denne konsentrasjonen M(t) der t er tid i måneder fra 1. januar et ˚ar. Den største
verdien til M(t) er M(8) = 200 og den minste verdien er M(2) = 100.

a) Anta at M(t) kan uttrykkes på formen
M(t) = C0 + C cos(2π/T)(t-t0)

Bestem C0, C, T og t0 fra opplysningene som er gitt over.

b) Bestem a, b og ω slik at uttrykket for M(t) kan skrives om til formen
M(t) = C0 + a cos ωt + b sin ωt .
c) Når på året er M(t) = 150?


a) C0=150, C=50, T=12 og t0=8

b) ω=(2π/T)
- hvordan finner man a og b? Tenkte man kunne bruke 100 og 200, men tror kanskje det er feil...
I tema omskriving av harmoniske svingninger står det at a=rcosθ og b=rsinθ, men hva betyr dette?

[Guest]

Har du funnet ut av det?

[Guest]

Har du funnet ut av det?

nei, får til å tegne opp svingningen i geogebra og finne ut av c), men skal jo egentlig ikke bruke annet kalkulator på sånne oppgaver

[josi]

b) Bestem a, b og ω slik at uttrykket for M(t) kan skrives om til formen
M(t) = C0 + a cos ωt + b sin ωt .

Bruk at cos(u - v) = cosu*cosv + sinu*sinv
$M(t) = 150 + 50\cdot cos(\frac{\pi}{6}(t - 8)) = 150 + 50 \cdot cos(\frac{\pi}{6}t - \frac{\pi}{6}8) = 150 + 50 \, \cdot cos($ ? ? ? . . .

[Guest]

Får at a=49,8 og b=3,6?

[josi]

Får at a=49,8 og b=3,6?

$150 + 49.8cos(\frac{\pi}{6}t) + 3.6sin(\frac{\pi}{6}t)\neq 150 + 50cos(\frac{\pi}{6}(t - 8))$
for f.eks. t = 8.

[Guest]

Det er jo hva boka sier?

[Guest]

Det er vel a= (-1/2) og b= (sqr3)/2

[josi]

Det er vel a= (-1/2) og b= (sqr3)/2

Ja, det vil si:
$ a = 50\cdot -\frac{1}{2} = - 25$
$ b = 50\cdot \frac{-\sqrt3}{2} = -25\sqrt3$

[bruker1]

Får at a=49,8 og b=3,6?

Hvordan kom du frem til a og b?

[josi]

Får at a=49,8 og b=3,6?

Hvordan kom du frem til a og b?

Jeg fullfører denne utregningen: Bruk at cos(u - v) = cosu*cosv + sinu*sinv

$ M(t)=150+50⋅cos(π6(t−8))=150+50⋅cos(π6t−π68)=150+50⋅cos(? ? ? . . .$


josi offline

[josi]

Får at a=49,8 og b=3,6?

Hvordan kom du frem til a og b?

Jeg fullfører denne utregningen: Bruk at cos(u - v) = cosu*cosv + sinu*sinv

$ M(t)=150+50⋅cos(π6(t−8))=150+50⋅cos(π6t−π68)=150+50⋅cos(? ? ? . . .$


Huff, $\pi6$ i det ovenstående skal være $\frac{\pi}{6}$

[Guest]

Hvordan finner man ut c)? For fikk til å regne ut a og b, men skjønner ikke helt hvordan jeg kan gjøre dette med bare en kalkulator...
M(t)=150
Jeg har jo disse opplysningene:
M(t)=150+50cos((2π/12)(t-8)
M(t)=150-25cos((π/6)*t)-25√3sin((π/6)*t)
Puttet inn i geogebra og da ser man at den skjærer 150 både for t=5 og t=11, men vet ikke hvordan jeg kan regne dette ut "for hånd"

[bruker1]

Hvordan finner man ut c)? For fikk til å regne ut a og b, men skjønner ikke helt hvordan jeg kan gjøre dette med bare en kalkulator...
M(t)=150
Jeg har jo disse opplysningene:
M(t)=150+50cos((2π/12)(t-8)
M(t)=150-25cos((π/6)*t)-25√3sin((π/6)*t)
Puttet inn i geogebra og da ser man at den skjærer 150 både for t=5 og t=11, men vet ikke hvordan jeg kan regne dette ut "for hånd"

Funnet ut metode på dette enda?

[josi]

Hvordan finner man ut c)? For fikk til å regne ut a og b, men skjønner ikke helt hvordan jeg kan gjøre dette med bare en kalkulator...
M(t)=150
Jeg har jo disse opplysningene:
M(t)=150+50cos((2π/12)(t-8)
M(t)=150-25cos((π/6)*t)-25√3sin((π/6)*t)
Puttet inn i geogebra og da ser man at den skjærer 150 både for t=5 og t=11, men vet ikke hvordan jeg kan regne dette ut "for hånd"

Funnet ut metode på dette enda?

Likningene merket med rødt kan utledes fra hverandre da de inneholder de samme opplysningene. Det holder altså å bruke én av dem. Vi setter
$M(t) = 150 = 150 + 50cos(\frac{\pi}{6}(t - 8))$
$0 = 50cos(\frac{\pi}{6}(t - 8))$
Denne likningen kan løses for t uten bruk av lommeregner.