Vet noen hvordan man løser differensiallikningen: 5y'/e^0,2t=1
Gjerne vis og forklar stegvis om du kan
differensiallikning
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
dxdx
Hei.
Vet noen hvordan man løser differensiallikningen: 5y'/e^0,2t=1
Gjerne vis og forklar stegvis om du kan
Vet noen hvordan man løser differensiallikningen: 5y'/e^0,2t=1
Gjerne vis og forklar stegvis om du kan
Dette er en separabel difflikning hvor vi kan samle $y$-leddene til venstre og $t$-leddene til høyre:
$\frac{5y'}{e^{0.2t}}=1$
$5y' = e^{0.2t}$
Velger også for enkelhets skyld å få konstanten over til høyre:
$y' = \frac{1}{5}e^{0.2t}$
$y' = 0.2e^{0.2t}$
Har vi kommet hit kan vi egentlig tenke oss til svaret - hvilken funksjon $y(t)$ har $0.2e^{0.2t}$ som sin derivert?
Mer omstendelig prosess under:
Skriver om $y'$ til $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$:
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 0.2e^{0.2t}$
"Ganger opp" med $\mathrm{d}t$ (dette er kanskje litt upresist så rene matematikere vil klage på meg, men lar det gå...):
$\mathrm{d}y= 0.2e^{0.2t}\mathrm{d}t$
Integrerer begge sider:
$\int \mathrm{d}y= \int 0.2e^{0.2t}\mathrm{d}t$
Resten får du ta selv
$\frac{5y'}{e^{0.2t}}=1$
$5y' = e^{0.2t}$
Velger også for enkelhets skyld å få konstanten over til høyre:
$y' = \frac{1}{5}e^{0.2t}$
$y' = 0.2e^{0.2t}$
Har vi kommet hit kan vi egentlig tenke oss til svaret - hvilken funksjon $y(t)$ har $0.2e^{0.2t}$ som sin derivert?
Mer omstendelig prosess under:
Skriver om $y'$ til $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$:
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 0.2e^{0.2t}$
"Ganger opp" med $\mathrm{d}t$ (dette er kanskje litt upresist så rene matematikere vil klage på meg, men lar det gå...):
$\mathrm{d}y= 0.2e^{0.2t}\mathrm{d}t$
Integrerer begge sider:
$\int \mathrm{d}y= \int 0.2e^{0.2t}\mathrm{d}t$
Resten får du ta selv
-
dxdx
Tusen hjertelig takk!
Har ett siste spm.
y´= dy/dt. Men hvorfor ganger vi med dt slik at at vi får dy alene? (Hvordan forklarer jeg hvorfor jeg ganger med dt?)
Ganger vi med dt slik at vi skal få et integral på begge sider? slik det er mulig å ta antiderivasjon?
Har ett siste spm.
y´= dy/dt. Men hvorfor ganger vi med dt slik at at vi får dy alene? (Hvordan forklarer jeg hvorfor jeg ganger med dt?)
Ganger vi med dt slik at vi skal få et integral på begge sider? slik det er mulig å ta antiderivasjon?
Det er veldig bra at du stiller det spørsmålet. Å behandle det som en brøk på den måten går greit her, men det er ikke noe vi kan gjøre helt generelt. Det bryter sammen hvis man er litt uforsiktig med det.
Forklaringen på hvorfor det er greit her er en av de tingene jeg trodde jeg visste godt, men jeg ikke får til å forklare med enkle ord, så jeg får heller overlate det til noen andre.
Men den mer rigorøse måten å tenke på det, er å separere likninga som Svein har vist, så vi har $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 0.2e^{0.2t}$$, og deretter integrere begge sider med hensyn på $t$.
Forklaringen på hvorfor det er greit her er en av de tingene jeg trodde jeg visste godt, men jeg ikke får til å forklare med enkle ord, så jeg får heller overlate det til noen andre.
Men den mer rigorøse måten å tenke på det, er å separere likninga som Svein har vist, så vi har $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 0.2e^{0.2t}$$, og deretter integrere begge sider med hensyn på $t$.
