likninger med tre ukjente

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

likninger med tre ukjente

Innlegg gamer32 » 26/03-2020 18:09

Finnes det en lur måte å løse følgende likningssett ? f.eks. med substitusjon kontra på den tradisjonelle måten?

[tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )=1.5[/tex]

[tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]

[tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]
gamer32 offline

Re: likninger med tre ukjente

Innlegg Gjest » 27/03-2020 11:45

hva mener du med substitusjon?

er ikke det man vanligvis gjør; finner et uttrykk for den ene variabelen og setter det inn i det andre uttrykket
Gjest offline

Re: likninger med tre ukjente

Innlegg gamer32 » 27/03-2020 14:11

Jeg lurer på om det finnes en lur substitusjon man kan gjøre for å forenkle mellomregningene?
gamer32 offline

Re: likninger med tre ukjente

Innlegg Leonhard_Euler » 27/03-2020 16:07

Kanskje addisjonsmetoden kan gi en raskere regning? Prøv å trekke fra en av likningene fra en annen, se om det hjelper noe.
[tex]\ln(-1)=i\pi[/tex]
Leonhard_Euler offline
Noether
Noether
Innlegg: 20
Registrert: 26/03-2018 17:50

Re: likninger med tre ukjente

Innlegg gamer32 » 27/03-2020 18:47

Leonhard_Euler skrev:Kanskje addisjonsmetoden kan gi en raskere regning? Prøv å trekke fra en av likningene fra en annen, se om det hjelper noe.



mener du slik?

[tex][tex]\left (Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right) \right )-\left ( Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right ) \right )=\frac{1}{2}[/tex]
[/tex]
gamer32 offline

Re: likninger med tre ukjente

Innlegg Gjest » 27/03-2020 21:27

bruk at [tex]\cos(u-v)=\cos u \cos v + \sin u \sin v[/tex]
Gjest offline

Re: likninger med tre ukjente

Innlegg gamer32 » 28/03-2020 14:56

jeg prøver:



(I) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )=1.5[/tex]

(II) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]

(III) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]

[tex]I-II\,\,\,\Leftrightarrow \, Y+Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}(1982-t_0) \right )-Y+Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}(1984-t_0) \right )=0.5\Leftrightarrow Y+ Z\left ( \cos(\frac{1984\pi}{4})*\cos(\frac{\pi t_0}{4})+\sin(\frac{1984 \pi}{4}*\sin(\frac{\pi t_0}{4})) \right )=0.5[/tex]

[tex]Y=\frac{0.5}{Z\left ( \cos\left ( \frac{1984\pi}{4} \right )*\cos\left ( \frac{\pi t_0}{4} \right ) + \sin\left ( \frac{1984 \pi}{4} \right )*\sin\left ( \frac{\pi t_0}{4} \right ) \right )}[/tex]


dette ble ikke lett, kan noen hjelpe?
gamer32 offline

Re: likninger med tre ukjente

Innlegg Gjest » 28/03-2020 15:37

gamer32 skrev:jeg prøver:



(I) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )=1.5[/tex]

(II) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]

(III) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]

[tex]I-II\,\,\,\Leftrightarrow \, Y+Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}(1982-t_0) \right )-Y+Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}(1984-t_0) \right )=0.5\Leftrightarrow Y+ Z\left ( \cos(\frac{1984\pi}{4})*\cos(\frac{\pi t_0}{4})+\sin(\frac{1984 \pi}{4}*\sin(\frac{\pi t_0}{4})) \right )=0.5[/tex]

[tex]Y=\frac{0.5}{Z\left ( \cos\left ( \frac{1984\pi}{4} \right )*\cos\left ( \frac{\pi t_0}{4} \right ) + \sin\left ( \frac{1984 \pi}{4} \right )*\sin\left ( \frac{\pi t_0}{4} \right ) \right )}[/tex]


dette ble ikke lett, kan noen hjelpe?




dette ble litt feil:

ut i fra:


(I) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )=1.5[/tex]

(II) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]

(III) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]


får jeg at bla:

fra [tex]I[/tex]:

[tex]A=1.5-B \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )[/tex]

Innsatt i [tex]II[/tex] gir dette:

[tex]\left (1.5-B \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right ) \right )+B \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]

som gir:

[tex]B=\frac{0.5}{\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )- \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right ) \right )}[/tex]

dette innsatt i [tex]III[/tex] og bruk av [tex]A=1.5-B \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )[/tex] gir :

[tex]\left (1.5-\left ( \frac{0.5}{\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )- \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right ) \right )} \right )* \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right ) \right )+\left ( \frac{0.5}{\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )- \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right ) \right )} \right )* \cos \left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]

som er et gedigent uttrykk....
det må være lettere måte å gjøre dette på??
Gjest offline

Re: likninger med tre ukjente

Innlegg SveinR » 28/03-2020 17:59

gamer32 skrev:(I) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )=1.5[/tex]

(II) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]

(III) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]


Det kan nok lønne seg å forenkle [tex]\cos{}[/tex]-uttrykkene først, før man gjør noe annet. F.eks. den midterste blir:

[tex]\cos{\left( \frac{\pi}{4}(1984-t_0)\right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)}\cdot \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)}\cdot \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)}[/tex]

Dette ser kanskje ikke så mye enklere ut, men observer at [tex]\cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)} = \cos{\left(\pi \cdot 496 \right)} = \cos{\left(2\pi \cdot 248 \right)} = 1[/tex] (siden et helt antall [tex]2\pi[/tex] har cosinus-verdi 1).

Tilsvarende blir [tex]\sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)} = \sin{\left(\pi \cdot 496 \right)} = \sin{\left(2\pi \cdot 248 \right)} = 0[/tex]

Dermed ender vi opp med:
[tex]\cos{\left( \frac{\pi}{4}(1984-t_0)\right)} = 1\cdot \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} + 0 \cdot \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)}[/tex]

De andre [tex]\cos{}[/tex]-uttrykkene kan også forenkles på nogenlunde tilsvarende måte.
SveinR offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 139
Registrert: 22/05-2018 21:12

Re: likninger med tre ukjente

Innlegg gamer32 » 28/03-2020 20:27

SveinR skrev:
gamer32 skrev:(I) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )=1.5[/tex]

(II) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]

(III) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]


Det kan nok lønne seg å forenkle [tex]\cos{}[/tex]-uttrykkene først, før man gjør noe annet. F.eks. den midterste blir:

[tex]\cos{\left( \frac{\pi}{4}(1984-t_0)\right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)}\cdot \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)}\cdot \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)}[/tex]

Dette ser kanskje ikke så mye enklere ut, men observer at [tex]\cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)} = \cos{\left(\pi \cdot 496 \right)} = \cos{\left(2\pi \cdot 248 \right)} = 1[/tex] (siden et helt antall [tex]2\pi[/tex] har cosinus-verdi 1).

Tilsvarende blir [tex]\sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)} = \sin{\left(\pi \cdot 496 \right)} = \sin{\left(2\pi \cdot 248 \right)} = 0[/tex]

Dermed ender vi opp med:
[tex]\cos{\left( \frac{\pi}{4}(1984-t_0)\right)} = 1\cdot \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} + 0 \cdot \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)}[/tex]

De andre [tex]\cos{}[/tex]-uttrykkene kan også forenkles på nogenlunde tilsvarende måte.



takk for innspill

jeg ender opp med :

[tex]I \Rightarrow \, Y-Z \sin \left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right )=1.5[/tex]

[tex]II \Rightarrow Y+Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=1[/tex]

[tex]III \Rightarrow \, Y+Z\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]

substitusjon
-------------------------------------
[tex]Y=1.5+Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )[/tex] fra [tex]I[/tex] i [tex]II[/tex] gir;

[tex]\left (1.5+Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right ) \right )+Z \cos \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=1[/tex]

[tex]Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+Z \cos \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=-0.5[/tex]

----------------------------------------------------------
[tex]\sqrt{2}Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\tan^{-1}\left ( \frac{Z}{Z} \right ) \right )=-0.5\Rightarrow Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )=-\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex]
------------------------------------------------------------

[tex]I[/tex] i [tex]III[/tex] gir:

[tex]\left (1.5+Z \sin \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right ) \right )+Z\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{{\pi}}{4} t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right ) \right ) = 0.6464[/tex]

[tex]Z\left ( \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right )\right )= -0.8536\Rightarrow Z\left (\frac{2+\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )\right )=-0.8536[/tex]


Har dermed uttrykkene:
[tex]y_1: Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )=-\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex]

[tex]y_2: Z\left (\frac{2+\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )\right )=-0.8536[/tex]

fra [tex]y_1[/tex]

[tex]Z=\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )}[/tex]

innsatt i [tex]y_2[/tex] gir dette:

[tex]\left ( \frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )} \right )*\left (\frac{2+\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )\right )=-0.8536[/tex]



[tex]\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}*\frac{2+\sqrt{2}}{4} \sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right ) }{\sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right )}+\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}*\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )}=-0.8536[/tex]


Jeg ser virkelig ikke hvordan dette skal gå videre??
gamer32 offline

Re: likninger med tre ukjente

Innlegg gamer32 » 28/03-2020 20:33

gamer32 skrev:
SveinR skrev:
gamer32 skrev:(I) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )=1.5[/tex]

(II) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]

(III) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]


Det kan nok lønne seg å forenkle [tex]\cos{}[/tex]-uttrykkene først, før man gjør noe annet. F.eks. den midterste blir:

[tex]\cos{\left( \frac{\pi}{4}(1984-t_0)\right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)}\cdot \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)}\cdot \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)}[/tex]

Dette ser kanskje ikke så mye enklere ut, men observer at [tex]\cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)} = \cos{\left(\pi \cdot 496 \right)} = \cos{\left(2\pi \cdot 248 \right)} = 1[/tex] (siden et helt antall [tex]2\pi[/tex] har cosinus-verdi 1).

Tilsvarende blir [tex]\sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)} = \sin{\left(\pi \cdot 496 \right)} = \sin{\left(2\pi \cdot 248 \right)} = 0[/tex]

Dermed ender vi opp med:
[tex]\cos{\left( \frac{\pi}{4}(1984-t_0)\right)} = 1\cdot \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} + 0 \cdot \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)}[/tex]

De andre [tex]\cos{}[/tex]-uttrykkene kan også forenkles på nogenlunde tilsvarende måte.



takk for innspill

jeg ender opp med :

[tex]I \Rightarrow \, Y-Z \sin \left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right )=1.5[/tex]

[tex]II \Rightarrow Y+Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=1[/tex]

[tex]III \Rightarrow \, Y+Z\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]

substitusjon
-------------------------------------
[tex]Y=1.5+Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )[/tex] fra [tex]I[/tex] i [tex]II[/tex] gir;

[tex]\left (1.5+Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right ) \right )+Z \cos \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=1[/tex]

[tex]Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+Z \cos \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=-0.5[/tex]

----------------------------------------------------------
[tex]\sqrt{2}Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\tan^{-1}\left ( \frac{Z}{Z} \right ) \right )=-0.5\Rightarrow Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )=-\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex]
------------------------------------------------------------

[tex]I[/tex] i [tex]III[/tex] gir:

[tex]\left (1.5+Z \sin \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right ) \right )+Z\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{{\pi}}{4} t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right ) \right ) = 0.6464[/tex]

[tex]Z\left ( \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right )\right )= -0.8536\Rightarrow Z\left (\frac{2+\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )\right )=-0.8536[/tex]


Har dermed uttrykkene:
[tex]y_1: Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )=-\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex]

[tex]y_2: Z\left (\frac{2+\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )\right )=-0.8536[/tex]

fra [tex]y_1[/tex]

[tex]Z=\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )}[/tex]

innsatt i [tex]y_2[/tex] gir dette:

[tex]\left ( \frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )} \right )*\left (\frac{2+\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )\right )=-0.8536[/tex]



[tex]\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}*\frac{2+\sqrt{2}}{4} \sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right ) }{\sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right )}+\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}*\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )}=-0.8536[/tex]


Jeg ser virkelig ikke hvordan dette skal gå videre??



sneket seg en liten feil i regnestykket mitt på slutten;
jeg ender opp dette med ingen veis ende;


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
[tex]\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}*\frac{2+\sqrt{2}}{4} \sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right ) }{\sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0+\frac{\pi}{4} \right )}+\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}*\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )}=-0.8536[/tex]

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
gamer32 offline

Re: likninger med tre ukjente

Innlegg SveinR » 28/03-2020 21:32

Dette ser veldig vrient ut ja. Jeg har en alternativ tilnærming jeg tror kan være nyttig:

I stedet for å eliminere [tex]Y[/tex] og deretter eliminere [tex]Z[/tex], så kan vi heller eliminere uttrykkene med [tex]\sin{}[/tex] og [tex]\cos{}[/tex].

Fra [tex]I[/tex] har vi at

[tex]Z \sin{⁡\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)}=Y-1.5[/tex]

Fra [tex]II[/tex] har vi at

[tex]Z \cos⁡{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)}=1-Y[/tex]

Sett disse inn i [tex]III[/tex]:

[tex]Y+ \frac{\sqrt{2}}{2} Z \cos⁡{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} Z \sin{⁡\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)} = 0.6464[/tex]
SveinR offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 139
Registrert: 22/05-2018 21:12

Re: likninger med tre ukjente

Innlegg josi » 29/03-2020 00:14

SveinR skrev:Dette ser veldig vrient ut ja. Jeg har en alternativ tilnærming jeg tror kan være nyttig:

I stedet for å eliminere [tex]Y[/tex] og deretter eliminere [tex]Z[/tex], så kan vi heller eliminere uttrykkene med [tex]\sin{}[/tex] og [tex]\cos{}[/tex].

Fra [tex]I[/tex] har vi at

[tex]Z \sin{⁡\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)}=Y-1.5[/tex]

Fra [tex]II[/tex] har vi at

[tex]Z \cos⁡{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)}=1-Y[/tex]

Sett disse inn i [tex]III[/tex]:

[tex]Y+ \frac{\sqrt{2}}{2} Z \cos⁡{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} Z \sin{⁡\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)} = 0.6464[/tex]

Men blir ikke den første likningen:

$Z * cos(\frac{\pi}{4}t_0) + Y = 1.5$?
josi offline

Re: likninger med tre ukjente

Innlegg gamer32 » 29/03-2020 10:29

SveinR skrev:Dette ser veldig vrient ut ja. Jeg har en alternativ tilnærming jeg tror kan være nyttig:

I stedet for å eliminere [tex]Y[/tex] og deretter eliminere [tex]Z[/tex], så kan vi heller eliminere uttrykkene med [tex]\sin{}[/tex] og [tex]\cos{}[/tex].

Fra [tex]I[/tex] har vi at

[tex]Z \sin{⁡\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)}=Y-1.5[/tex]

Fra [tex]II[/tex] har vi at

[tex]Z \cos⁡{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)}=1-Y[/tex]

Sett disse inn i [tex]III[/tex]:

[tex]Y+ \frac{\sqrt{2}}{2} Z \cos⁡{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} Z \sin{⁡\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)} = 0.6464[/tex]




* [tex]I: Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=Y-1.5[/tex]

* [tex]II: Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=1-Y[/tex]

* [tex]III: Y+\frac{\sqrt{2}}{2}Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2}Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=0.6464[/tex]

[tex]I[/tex] og [tex]II[/tex] i [tex]III[/tex] :

[tex]Y+\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1-Y \right )+\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( Y-1.5 \right )=0.6464[/tex]

[tex]Y=\left \{ 0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right \}[/tex]

[tex]\frac{I}{II}=\frac{Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )}{Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )}=\frac{Y-1.5}{1-Y}=\tan \left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right )=\frac{\left ( 0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )-1.5}{1-\left ( 0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}[/tex]


[tex]\frac{\pi}{4}t_0=-1.57+ n \pi \Rightarrow t_0 =\left \{ -1.99+ 4 n \right \}[/tex]

fra [tex]I[/tex] har vi;

[tex]Z =\frac{Y-1.5}{ \sin \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )}=\frac{\left ( 0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right )-1.5}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}*\left ( -1.99+4 n \right ) \right )}[/tex]

[tex]Z = \left \{ \frac{\left ( 0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right )-1.5}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}*\left ( -1.99+4 n \right ) \right )} \right \}[/tex]


er svaret på oppgaven, dermed ;

[tex]L \in \left \{ Y=0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2},\, \, \, \, t_0 =1.99+4 n,\, \, \, Z= \frac{\left ( 0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right )-1.5}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}*\left ( -1.99+4 n \right ) \right )} \right \}[/tex]

Stemmer dette??

(gitt at [tex]Y,Z > 0[/tex] er det bare til å bruke at [tex]n=1[/tex] ?
gamer32 offline

Re: likninger med tre ukjente

Innlegg SveinR » 29/03-2020 12:45

gamer32 skrev:[tex]I[/tex] og [tex]II[/tex] i [tex]III[/tex] :

[tex]Y+\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1-Y \right )+\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( Y-1.5 \right )=0.6464[/tex]

[tex]Y=\left \{ 0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right \}[/tex]

Jeg er rimelig sikker på at meningen er at tallet [tex]0.6464[/tex] egentlig er ment å være [tex]\frac{4-\sqrt{2}}{4}[/tex] (som er [tex]\approx 0.6464[/tex]), slik at vi ender opp med [tex]Y=1[/tex]. Og da blir resten av løsningen veldig grei.
SveinR offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 139
Registrert: 22/05-2018 21:12

Neste

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: MSN [Bot] og 231 gjester