Finnes det en lur måte å løse følgende likningssett ? f.eks. med substitusjon kontra på den tradisjonelle måten?
[tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )=1.5[/tex]
[tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]
[tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]
likninger med tre ukjente
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
hva mener du med substitusjon?
er ikke det man vanligvis gjør; finner et uttrykk for den ene variabelen og setter det inn i det andre uttrykket
er ikke det man vanligvis gjør; finner et uttrykk for den ene variabelen og setter det inn i det andre uttrykket
Jeg lurer på om det finnes en lur substitusjon man kan gjøre for å forenkle mellomregningene?
-
- Noether
- Innlegg: 24
- Registrert: 26/03-2018 18:50
Kanskje addisjonsmetoden kan gi en raskere regning? Prøv å trekke fra en av likningene fra en annen, se om det hjelper noe.
[tex]\ln(-1)=i\pi[/tex]
Leonhard_Euler skrev:Kanskje addisjonsmetoden kan gi en raskere regning? Prøv å trekke fra en av likningene fra en annen, se om det hjelper noe.
mener du slik?
[tex][tex][/tex][tex]\left (Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right) \right )-\left ( Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right ) \right )=\frac{1}{2}[/tex]
[/tex]
jeg prøver:
(I) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )=1.5[/tex]
(II) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]
(III) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]
[tex]I-II\,\,\,\Leftrightarrow \, Y+Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}(1982-t_0) \right )-Y+Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}(1984-t_0) \right )=0.5\Leftrightarrow Y+ Z\left ( \cos(\frac{1984\pi}{4})*\cos(\frac{\pi t_0}{4})+\sin(\frac{1984 \pi}{4}*\sin(\frac{\pi t_0}{4})) \right )=0.5[/tex]
[tex]Y=\frac{0.5}{Z\left ( \cos\left ( \frac{1984\pi}{4} \right )*\cos\left ( \frac{\pi t_0}{4} \right ) + \sin\left ( \frac{1984 \pi}{4} \right )*\sin\left ( \frac{\pi t_0}{4} \right ) \right )}[/tex]
dette ble ikke lett, kan noen hjelpe?
(I) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )=1.5[/tex]
(II) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]
(III) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]
[tex]I-II\,\,\,\Leftrightarrow \, Y+Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}(1982-t_0) \right )-Y+Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}(1984-t_0) \right )=0.5\Leftrightarrow Y+ Z\left ( \cos(\frac{1984\pi}{4})*\cos(\frac{\pi t_0}{4})+\sin(\frac{1984 \pi}{4}*\sin(\frac{\pi t_0}{4})) \right )=0.5[/tex]
[tex]Y=\frac{0.5}{Z\left ( \cos\left ( \frac{1984\pi}{4} \right )*\cos\left ( \frac{\pi t_0}{4} \right ) + \sin\left ( \frac{1984 \pi}{4} \right )*\sin\left ( \frac{\pi t_0}{4} \right ) \right )}[/tex]
dette ble ikke lett, kan noen hjelpe?
gamer32 skrev:jeg prøver:
(I) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )=1.5[/tex]
(II) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]
(III) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]
[tex]I-II\,\,\,\Leftrightarrow \, Y+Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}(1982-t_0) \right )-Y+Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}(1984-t_0) \right )=0.5\Leftrightarrow Y+ Z\left ( \cos(\frac{1984\pi}{4})*\cos(\frac{\pi t_0}{4})+\sin(\frac{1984 \pi}{4}*\sin(\frac{\pi t_0}{4})) \right )=0.5[/tex]
[tex]Y=\frac{0.5}{Z\left ( \cos\left ( \frac{1984\pi}{4} \right )*\cos\left ( \frac{\pi t_0}{4} \right ) + \sin\left ( \frac{1984 \pi}{4} \right )*\sin\left ( \frac{\pi t_0}{4} \right ) \right )}[/tex]
dette ble ikke lett, kan noen hjelpe?
dette ble litt feil:
ut i fra:
(I) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )=1.5[/tex]
(II) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]
(III) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]
får jeg at bla:
fra [tex]I[/tex]:
[tex]A=1.5-B \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )[/tex]
Innsatt i [tex]II[/tex] gir dette:
[tex]\left (1.5-B \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right ) \right )+B \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]
som gir:
[tex]B=\frac{0.5}{\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )- \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right ) \right )}[/tex]
dette innsatt i [tex]III[/tex] og bruk av [tex]A=1.5-B \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )[/tex] gir :
[tex]\left (1.5-\left ( \frac{0.5}{\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )- \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right ) \right )} \right )* \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right ) \right )+\left ( \frac{0.5}{\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )- \cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right ) \right )} \right )* \cos \left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]
som er et gedigent uttrykk....
det må være lettere måte å gjøre dette på??
Det kan nok lønne seg å forenkle [tex]\cos{}[/tex]-uttrykkene først, før man gjør noe annet. F.eks. den midterste blir:gamer32 skrev:(I) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )=1.5[/tex]
(II) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]
(III) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]
[tex]\cos{\left( \frac{\pi}{4}(1984-t_0)\right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)}\cdot \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)}\cdot \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)}[/tex]
Dette ser kanskje ikke så mye enklere ut, men observer at [tex]\cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)} = \cos{\left(\pi \cdot 496 \right)} = \cos{\left(2\pi \cdot 248 \right)} = 1[/tex] (siden et helt antall [tex]2\pi[/tex] har cosinus-verdi 1).
Tilsvarende blir [tex]\sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)} = \sin{\left(\pi \cdot 496 \right)} = \sin{\left(2\pi \cdot 248 \right)} = 0[/tex]
Dermed ender vi opp med:
[tex]\cos{\left( \frac{\pi}{4}(1984-t_0)\right)} = 1\cdot \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} + 0 \cdot \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)}[/tex]
De andre [tex]\cos{}[/tex]-uttrykkene kan også forenkles på nogenlunde tilsvarende måte.
SveinR skrev:Det kan nok lønne seg å forenkle [tex]\cos{}[/tex]-uttrykkene først, før man gjør noe annet. F.eks. den midterste blir:gamer32 skrev:(I) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )=1.5[/tex]
(II) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]
(III) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]
[tex]\cos{\left( \frac{\pi}{4}(1984-t_0)\right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)}\cdot \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)}\cdot \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)}[/tex]
Dette ser kanskje ikke så mye enklere ut, men observer at [tex]\cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)} = \cos{\left(\pi \cdot 496 \right)} = \cos{\left(2\pi \cdot 248 \right)} = 1[/tex] (siden et helt antall [tex]2\pi[/tex] har cosinus-verdi 1).
Tilsvarende blir [tex]\sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)} = \sin{\left(\pi \cdot 496 \right)} = \sin{\left(2\pi \cdot 248 \right)} = 0[/tex]
Dermed ender vi opp med:
[tex]\cos{\left( \frac{\pi}{4}(1984-t_0)\right)} = 1\cdot \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} + 0 \cdot \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)}[/tex]
De andre [tex]\cos{}[/tex]-uttrykkene kan også forenkles på nogenlunde tilsvarende måte.
takk for innspill
jeg ender opp med :
[tex]I \Rightarrow \, Y-Z \sin \left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right )=1.5[/tex]
[tex]II \Rightarrow Y+Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=1[/tex]
[tex]III \Rightarrow \, Y+Z\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]
substitusjon
-------------------------------------
[tex]Y=1.5+Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )[/tex] fra [tex]I[/tex] i [tex]II[/tex] gir;
[tex]\left (1.5+Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right ) \right )+Z \cos \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=1[/tex]
[tex]Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+Z \cos \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=-0.5[/tex]
----------------------------------------------------------
[tex]\sqrt{2}Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\tan^{-1}\left ( \frac{Z}{Z} \right ) \right )=-0.5\Rightarrow Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )=-\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex]
------------------------------------------------------------
[tex]I[/tex] i [tex]III[/tex] gir:
[tex]\left (1.5+Z \sin \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right ) \right )+Z\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{{\pi}}{4} t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right ) \right ) = 0.6464[/tex]
[tex]Z\left ( \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right )\right )= -0.8536\Rightarrow Z\left (\frac{2+\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )\right )=-0.8536[/tex]
Har dermed uttrykkene:
[tex]y_1: Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )=-\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex]
[tex]y_2: Z\left (\frac{2+\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )\right )=-0.8536[/tex]
fra [tex]y_1[/tex]
[tex]Z=\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )}[/tex]
innsatt i [tex]y_2[/tex] gir dette:
[tex]\left ( \frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )} \right )*\left (\frac{2+\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )\right )=-0.8536[/tex]
[tex]\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}*\frac{2+\sqrt{2}}{4} \sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right ) }{\sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right )}+\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}*\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )}=-0.8536[/tex]
Jeg ser virkelig ikke hvordan dette skal gå videre??
gamer32 skrev:SveinR skrev:Det kan nok lønne seg å forenkle [tex]\cos{}[/tex]-uttrykkene først, før man gjør noe annet. F.eks. den midterste blir:gamer32 skrev:(I) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )=1.5[/tex]
(II) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]
(III) [tex]Y+Z*\cos\left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]
[tex]\cos{\left( \frac{\pi}{4}(1984-t_0)\right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)}\cdot \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)}\cdot \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)}[/tex]
Dette ser kanskje ikke så mye enklere ut, men observer at [tex]\cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)} = \cos{\left(\pi \cdot 496 \right)} = \cos{\left(2\pi \cdot 248 \right)} = 1[/tex] (siden et helt antall [tex]2\pi[/tex] har cosinus-verdi 1).
Tilsvarende blir [tex]\sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot 1984\right)} = \sin{\left(\pi \cdot 496 \right)} = \sin{\left(2\pi \cdot 248 \right)} = 0[/tex]
Dermed ender vi opp med:
[tex]\cos{\left( \frac{\pi}{4}(1984-t_0)\right)} = 1\cdot \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} + 0 \cdot \sin{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{4}\cdot t_0\right)}[/tex]
De andre [tex]\cos{}[/tex]-uttrykkene kan også forenkles på nogenlunde tilsvarende måte.
takk for innspill
jeg ender opp med :
[tex]I \Rightarrow \, Y-Z \sin \left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right )=1.5[/tex]
[tex]II \Rightarrow Y+Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=1[/tex]
[tex]III \Rightarrow \, Y+Z\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]
substitusjon
-------------------------------------
[tex]Y=1.5+Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )[/tex] fra [tex]I[/tex] i [tex]II[/tex] gir;
[tex]\left (1.5+Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right ) \right )+Z \cos \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=1[/tex]
[tex]Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+Z \cos \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=-0.5[/tex]
----------------------------------------------------------
[tex]\sqrt{2}Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\tan^{-1}\left ( \frac{Z}{Z} \right ) \right )=-0.5\Rightarrow Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )=-\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex]
------------------------------------------------------------
[tex]I[/tex] i [tex]III[/tex] gir:
[tex]\left (1.5+Z \sin \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right ) \right )+Z\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{{\pi}}{4} t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right ) \right ) = 0.6464[/tex]
[tex]Z\left ( \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right )\right )= -0.8536\Rightarrow Z\left (\frac{2+\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )\right )=-0.8536[/tex]
Har dermed uttrykkene:
[tex]y_1: Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )=-\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex]
[tex]y_2: Z\left (\frac{2+\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )\right )=-0.8536[/tex]
fra [tex]y_1[/tex]
[tex]Z=\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )}[/tex]
innsatt i [tex]y_2[/tex] gir dette:
[tex]\left ( \frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )} \right )*\left (\frac{2+\sqrt{2}}{2} \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )\right )=-0.8536[/tex]
[tex]\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}*\frac{2+\sqrt{2}}{4} \sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right ) }{\sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right )}+\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}*\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )}=-0.8536[/tex]
Jeg ser virkelig ikke hvordan dette skal gå videre??
sneket seg en liten feil i regnestykket mitt på slutten;
jeg ender opp dette med ingen veis ende;
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
[tex]\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}*\frac{2+\sqrt{2}}{4} \sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right ) }{\sin\left ( \frac{\pi}{4} t_0+\frac{\pi}{4} \right )}+\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}*\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0+\frac{\pi}{4} \right )}=-0.8536[/tex]
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dette ser veldig vrient ut ja. Jeg har en alternativ tilnærming jeg tror kan være nyttig:
I stedet for å eliminere [tex]Y[/tex] og deretter eliminere [tex]Z[/tex], så kan vi heller eliminere uttrykkene med [tex]\sin{}[/tex] og [tex]\cos{}[/tex].
Fra [tex]I[/tex] har vi at
[tex]Z \sin{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)}=Y-1.5[/tex]
Fra [tex]II[/tex] har vi at
[tex]Z \cos{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)}=1-Y[/tex]
Sett disse inn i [tex]III[/tex]:
[tex]Y+ \frac{\sqrt{2}}{2} Z \cos{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} Z \sin{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)} = 0.6464[/tex]
I stedet for å eliminere [tex]Y[/tex] og deretter eliminere [tex]Z[/tex], så kan vi heller eliminere uttrykkene med [tex]\sin{}[/tex] og [tex]\cos{}[/tex].
Fra [tex]I[/tex] har vi at
[tex]Z \sin{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)}=Y-1.5[/tex]
Fra [tex]II[/tex] har vi at
[tex]Z \cos{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)}=1-Y[/tex]
Sett disse inn i [tex]III[/tex]:
[tex]Y+ \frac{\sqrt{2}}{2} Z \cos{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} Z \sin{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)} = 0.6464[/tex]
Men blir ikke den første likningen:SveinR skrev:Dette ser veldig vrient ut ja. Jeg har en alternativ tilnærming jeg tror kan være nyttig:
I stedet for å eliminere [tex]Y[/tex] og deretter eliminere [tex]Z[/tex], så kan vi heller eliminere uttrykkene med [tex]\sin{}[/tex] og [tex]\cos{}[/tex].
Fra [tex]I[/tex] har vi at
[tex]Z \sin{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)}=Y-1.5[/tex]
Fra [tex]II[/tex] har vi at
[tex]Z \cos{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)}=1-Y[/tex]
Sett disse inn i [tex]III[/tex]:
[tex]Y+ \frac{\sqrt{2}}{2} Z \cos{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} Z \sin{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)} = 0.6464[/tex]
$Z * cos(\frac{\pi}{4}t_0) + Y = 1.5$?
SveinR skrev:Dette ser veldig vrient ut ja. Jeg har en alternativ tilnærming jeg tror kan være nyttig:
I stedet for å eliminere [tex]Y[/tex] og deretter eliminere [tex]Z[/tex], så kan vi heller eliminere uttrykkene med [tex]\sin{}[/tex] og [tex]\cos{}[/tex].
Fra [tex]I[/tex] har vi at
[tex]Z \sin{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)}=Y-1.5[/tex]
Fra [tex]II[/tex] har vi at
[tex]Z \cos{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)}=1-Y[/tex]
Sett disse inn i [tex]III[/tex]:
[tex]Y+ \frac{\sqrt{2}}{2} Z \cos{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} Z \sin{\left(\frac{\pi}{4} t_0\right)} = 0.6464[/tex]
* [tex]I: Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=Y-1.5[/tex]
* [tex]II: Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=1-Y[/tex]
* [tex]III: Y+\frac{\sqrt{2}}{2}Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2}Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=0.6464[/tex]
[tex]I[/tex] og [tex]II[/tex] i [tex]III[/tex] :
[tex]Y+\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1-Y \right )+\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( Y-1.5 \right )=0.6464[/tex]
[tex]Y=\left \{ 0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right \}[/tex]
[tex]\frac{I}{II}=\frac{Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )}{Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )}=\frac{Y-1.5}{1-Y}=\tan \left ( \frac{\pi}{4} t_0 \right )=\frac{\left ( 0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )-1.5}{1-\left ( 0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}[/tex]
[tex]\frac{\pi}{4}t_0=-1.57+ n \pi \Rightarrow t_0 =\left \{ -1.99+ 4 n \right \}[/tex]
fra [tex]I[/tex] har vi;
[tex]Z =\frac{Y-1.5}{ \sin \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )}=\frac{\left ( 0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right )-1.5}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}*\left ( -1.99+4 n \right ) \right )}[/tex]
[tex]Z = \left \{ \frac{\left ( 0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right )-1.5}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}*\left ( -1.99+4 n \right ) \right )} \right \}[/tex]
er svaret på oppgaven, dermed ;
[tex]L \in \left \{ Y=0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2},\, \, \, \, t_0 =1.99+4 n,\, \, \, Z= \frac{\left ( 0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right )-1.5}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}*\left ( -1.99+4 n \right ) \right )} \right \}[/tex]
Stemmer dette??
(gitt at [tex]Y,Z > 0[/tex] er det bare til å bruke at [tex]n=1[/tex] ?
Jeg er rimelig sikker på at meningen er at tallet [tex]0.6464[/tex] egentlig er ment å være [tex]\frac{4-\sqrt{2}}{4}[/tex] (som er [tex]\approx 0.6464[/tex]), slik at vi ender opp med [tex]Y=1[/tex]. Og da blir resten av løsningen veldig grei.gamer32 skrev:[tex]I[/tex] og [tex]II[/tex] i [tex]III[/tex] :
[tex]Y+\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1-Y \right )+\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( Y-1.5 \right )=0.6464[/tex]
[tex]Y=\left \{ 0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right \}[/tex]