Driver for tiden med litt mekanikk mens jeg venter på innrykk i forsvaret og lurer derfor på om jeg har forstått uttrykket for Langrange-funksjonen riktig ved innføring av sylindriske koordinater.
Vi vet at den enkleste lagrange-funksjonen kan defineres som [tex]L=T-V[/tex] hvor [tex]T[/tex] er den kinetiske energien og [tex]V[/tex] er et energi-potensial.
dvs. [tex]L=\frac{1}{2}m v^2-V(\mathbf{r})[/tex] hvor [tex]V(\mathbf{r})[/tex] er et energi-potensial i [tex]\mathbf{r}=(x,y,z)[/tex] slik at vi oppnår [tex]L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-V(x,y,z)[/tex] hvor dot-notasjonen brukes som symbol for den tidsderiverte.
Det jeg lurer på er om sylinderkoordinat-konversjonen min her blir riktig
[tex]\left\{\begin{matrix} x=r\cos(\theta) & & \\ y=r\sin(\theta) & & \\ z=z & & \end{matrix}\right.[/tex]
Da får vi at [tex]L=\frac{1}{2}m\left ( \left (\frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial t}+\frac{\partial x}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial t} \right )^2+\left ( \frac{\partial y}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial t}+\frac{\partial y}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial t} \right )^2 + \dot{z}^2 \right )-V(r,\theta,z)=\frac{1}{2}m((\dot{r}\cos(\theta)-\dot{\theta}r\sin(\theta))^2+(\dot{r}\sin(\theta)+\dot{\theta}rcos(\theta))^2+\dot{z^2})-V(r,\theta, z)[/tex]
Har ikke forenklet uttrykket der oppe, men blir det riktig?
