matematikk.net

Har så smått begynt å lage et tallteori-kurs, som jeg selvfølgelig planlegger å gjøre ganske omstendig, men det å finne en naturlig (no pun intended) rekkefølge å gjøre ting i er litt vanskelig.

Jeg tenkte jeg skulle gå ut fra kapittel-inndelinga i ei bok som heter A Friendly Introduction to Number Theory, som har følgende kapitler:



Innledningsvis virker dette greit. Pytagoreiske tripler har ikke så mye praktisk nytte nå til dags, men det åpner for at man kan utforske mønster, gjøre hypoteser, og føre bevis.

Eksempelvis laga jeg et lite Python-skript som skrev ut de første ~100 primitive pytagoreiske triplene (PPT), og laga en video der jeg viser frem resultatet, observerer at i alle PPTene $(a, b, c) : a^2 + b^2 = c^2$ så vil $a, b$ ha motsatt paritet, og $c$ er alltid odde, som er fine nybegynner-bevis.

Så ting ser greit ut hittil, men spørsmålet jeg har er om dere ser forbedringspotensiale i kapittel-inndelinga? Kanskje kapitler som passer inn mellom to andre?

Joseph Hilell Silverman: A friendly introduction to Number Theory.

Er denne boken å få kjøpt , og hva er i så fall prisen ?

https://www.amazon.com/Friendly-Introdu ... 0321816196

Ikke den verste prisen, tatt i betraktning hva matematisk litteratur ofte koster.

Aleks855 wrote: Så ting ser greit ut hittil, men spørsmålet jeg har er om dere ser forbedringspotensiale i kapittel-inndelinga? Kanskje kapitler som passer inn mellom to andre?

Ganske ambisiøst prosjekt! I positiv forstand. Den kapittelinndeling du viser til er jo ganske omfattende, så ikke så lett å kommentere på sparket. Jeg har ikke lest boka du nevner, men har hørt flere positive ting om den tidligere. De tallteoribøkene jeg har erfaring fra er standardboka til David Burton samt et norsk kompendium i tallteori fra uio: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... lflind.pdf

Hvis du lurer på noe faglig i løpet av arbeidet stiller jeg meg gjerne til disposisjon

PS: her er en nyere utgave av kompendiet: http://folk.uio.no/snorrec/17HMat1140/m ... lteori.pdf Ser ut som det brukes i et uio-emne for tida.

Kanskje du kan bruke noen oppgaver derfra...

Takk for svar . Logget meg inn på nettstedet du viser til og fant ut at boken kan kjøpes ny ( ubrukt ) for 117 US-dollar
( i underkant av 1000 NOK ).

Stemmer det ?

Ja, man kan få den digitalt for $117. Det er nok det lureste valget på en måte, i og med at man får den umiddelbart. Nå er jeg en tilhenger av håndfaste bøker når det gjelder pensumlitteratur, eventuelt PDF på PC. Det blir litt knotete å bla frem og tilbake med eksempelvis en Kindle.

Gustav wrote:Ganske ambisiøst prosjekt! I positiv forstand. Den kapittelinndeling du viser til er jo ganske omfattende, så ikke så lett å kommentere på sparket. Jeg har ikke lest boka du nevner, men har hørt flere positive ting om den tidligere. De tallteoribøkene jeg har erfaring fra er standardboka til David Burton samt et norsk kompendium i tallteori fra uio: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... lflind.pdf

Hvis du lurer på noe faglig i løpet av arbeidet stiller jeg meg gjerne til disposisjon

PS: her er en nyere utgave av kompendiet: http://folk.uio.no/snorrec/17HMat1140/m ... lteori.pdf Ser ut som det brukes i et uio-emne for tida.

Kanskje du kan bruke noen oppgaver derfra...

Tusen takk! Alltid fint med flere kilder å hente visdom fra.

Jeg biter meg merke i at kapitlene om pytagoreiske tripler er først i Silverman, men sist i Alfsen/Lindstrøm. Det er sånne uenigheter som gjør det vanskelig å finne en lur rekkefølge. Men nå er jo det kanskje fordi det er noe som kan læres parallelt med resten, og som ikke nødvendigvis bygger direkte på alt det andre, så på sett og vis gir det litt mening likevel.

Informativt svar. Takk !

Først og fremst; ambisiøst og veldig kult prosjekt.

Litt kommentarer til planen din:
Jeg ville nok også lagt inn generell bevisføring som en bolk, da særlig direkte bevis, induksjonsbevis og bevis ved kontradiksjon. Personlig ville jeg også droppet FLT, evt. tatt det helt til slutt. Wiles' sitt generelle bevis er nok godt utenfor rekkevidde, men man kan jo ta å gå gjennom beviset for noen spesielle verdier av $n$ ($n=4$ skal visst være den verdien av $n$ som er lettest å bevise). Jeg ville også samtidig flytta Pythagoreiske tripler til slutt, og evt. ha det som en intro til FLT. Videre er jeg enig i kapitteloppdelingen fra 5 til 11 (regner med at linear equations henviser til diofantiske likninger), men savner Wilsons teorem i kapittelinndelinga fra 5 til 11. Kapittel 38 bør kanskje flyttes til starten. I boken Gustav henviser til, Elementary Number Theory av Burton (hvilket for øvrig er en bra bok), er både matematisk induksjon, binomialkoeffisienter, binomailteoremet og Pascals talltrekant i forkunnskaper-kapittelet. Jeg ville også kanskje lagt til en bolk om kryptografi, så kan du vise hvordan tallteori er praktisk anvendbart. Personlig ville jeg også hatt med litt historie, men det er bare min mening. I Burtons bok starter omtrent alle kapitlene med bakgrunnshistorie til en av matematikerene som har stått sentralt innen utviklingen av noe. For eksempel i kapitellet om Fermats lille teorem, står det noen sider om Pierre de Fermat, og i kapitellet om continued fractions står det litt om Ramanujan. Bortsett fra dette synes jeg planen ser bra ut, selv om jeg ikke har kjennskap til flere av de siste kapitlenes titler.

Jeg må også si at jeg liker hvordan du blander inn litt programmering i det hele. En idé hadde jo kanskje vært å programmere noen av algoritmene, for eksempel GCD, LCM og løsning av lineære diofantiske likninger på formen [tex]ax+by=c[/tex]. Kunne også i samme slengen nevnt Great Internet Mersenne Prime Search, for å vise hvordan flere av de største primtallene er blitt funnet.

Her er for øvrig kapitellinndelingen til Elementary Number Theory (7. utgave), hvis det er til ønske å sammenligne:

[+] Skjult tekst

1. Preliminaries (matematisk induksjon og binomialteoremet)
2. Divisibility theory in integers
3. Primes and their distribution
4. The theory of congruences
5. Fermat's theorem (+ Wilsons teorem)
6. Number-theoretic functions
7. Eulers generalization of Fermat's theorem
8. Primitive root and indices
9. The quadratic reciprocity law
10. Introduction to cryptography
11. Numbers on special form
12. Certain non-linear diophantine equations
13. Representation of integers as sum of squares
14. Fibonacci numbers
15. Continued fractions
16. Some modern developments

Du kan jo også bruke forelesningslogg til introduksjonsemnet til tallteori på universitet, for å se hvordan de har gått fram. Her er forelesningsloggen til MA1301 Tallteori på NTNU, høst 2015.

Enig med Markus angående kryptografi som eksempel på anvendt tallteori. Her er et notat om RSA-kryptografi på norsk http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... krypto.pdf

Enig. Vi hadde litt om RSA som et delkapittel i tallteori-kapitlet i Diskret Matematikk på ingeniøren, men når det er en delkapittel i et kapittel, så blir det veldig overfladisk. Likevel ga det mersmak, så det hører helt klart hjem i et tallteori-kurs.

Jeg tror pytagoreiske tripler kanskje kan utsettes i alle fall til etter kapitlet/kapitlene om delelighet, primtall, og $\gcd$ da man gjerne skal bruke litt av disse prinsippene for å betrakte interessante mønstre i PPTer.

Tusen takk for litteratur-forslagene! Ser det er ganske eminente lektorer som har skrevet disse kompendiene.

Fant notater på norsk basert på Elementary Number Theory, fra MA1301 på NTNU (høst 2015). Er hele 431 sider, og har oppgaver til hvert kapittel. Tenkte kanskje det kunne være til nytte

Her er link: https://wiki.math.ntnu.no/_media/ma1301 ... .h2014.pdf

Anbefaler deg å se litt på denne OYV, før du eventuelt bestiller bok. Det må samtidig nevnes at du ikke trenger bok for å lære tallteori, eller matte for den saks skyld. Det finnes flere gode nettressurser, og et google-søk hjelper deg som regel lang vei.

Takk for tipset ! Har allerede lastet ned notatet du viser til samt to kompendier fra UiO ( anbefalt av Gustav ).

Markus wrote:Fant notater på norsk basert på Elementary Number Theory, fra MA1301 på NTNU (høst 2015). Er hele 431 sider, og har oppgaver til hvert kapittel. Tenkte kanskje det kunne være til nytte
Her er link: https://wiki.math.ntnu.no/_media/ma1301 ... .h2014.pdf
Anbefaler deg å se litt på denne OYV, før du eventuelt bestiller bok. Det må samtidig nevnes at du ikke trenger bok for å lære tallteori, eller matte for den saks skyld. Det finnes flere gode nettressurser, og et google-søk hjelper deg som regel lang vei.

Hadde faktisk MA1301- kurset H2014 på NTNU når det kompendiet ble lagd.
Richard Williamson gjorde en formidabel innsats!

og denne eksamen:

https://wiki.math.ntnu.no/_media/ma1301 ... ngelsk.pdf

Jeg liker også skrivestilen til Richard Williamson. Off topic, men kan også anbefale hans kompendium i topologi, http://rwilliamson-mathematics.info/gen ... eriale.pdf

Gustav wrote:Jeg liker også skrivestilen til Richard Williamson. Off topic, men kan også anbefale hans kompendium i topologi, http://rwilliamson-mathematics.info/gen ... eriale.pdf

Fortsetter digresjonen jeg,
har tenkt å ta ett Topologi-kurs, så da bruker jeg like godt kompendiet hans der å.