Ulikhet

[Kay]

Anta at [tex]f'[/tex] er integrerbar over intervallet [tex][0,1][/tex] og at [tex]f(0)=0[/tex]. Vis at [tex]\forall \ x\in [0,1][/tex] så er

[tex]|f(x)|\leq\sqrt{\int_{0}^{1}|f'|^2}[/tex]

[mingjun]

Dette følger vel direkte fra Cauchy Schwartz (i engelform) i integralform.

[Gustav]

Anta at [tex]f'[/tex] er integrerbar over intervallet [tex][0,1][/tex] og at [tex]f(0)=0[/tex]. Vis at [tex]\forall \ x\in [0,1][/tex] så er

[tex]|f(x)|\leq\sqrt{\int_{0}^{1}|f'|^2}[/tex]

Som mingjun skrev, så følger det av Schwarz' ulikhet

$|\int_0^x f \cdot g| \leq\sqrt{\int_0^x |f|^2 \int_0^x |g|^2}$. Sett $g=1$ og la $f\to f'$, så for $x\in [0,1]$ er

$|f(x)|=|\int_0^x f'| \leq\sqrt{\int_0^x |f'|^2 \int_0^x 1}= \sqrt{x }\sqrt{\int_0^x |f'|^2 }\leq \sqrt{\int_0^x |f'|^2}\leq \sqrt{\int_0^1 |f'|^2}$,

der den siste ulikheten er gyldig fordi integranden er ikkenegativ.

[Kay]

Anta at [tex]f'[/tex] er integrerbar over intervallet [tex][0,1][/tex] og at [tex]f(0)=0[/tex]. Vis at [tex]\forall \ x\in [0,1][/tex] så er

[tex]|f(x)|\leq\sqrt{\int_{0}^{1}|f'|^2}[/tex]

Som mingjun skrev, så følger det av Schwarz' ulikhet

$|\int_0^x f \cdot g| \leq\sqrt{\int_0^x |f|^2 \int_0^x |g|^2}$. Sett $g=1$ og la $f\to f'$, så for $x\in [0,1]$ er

$|f(x)|=|\int_0^x f'| \leq\sqrt{\int_0^x |f'|^2 \int_0^x 1}= \sqrt{x }\sqrt{\int_0^x |f'|^2 }\leq \sqrt{\int_0^x |f'|^2}\leq \sqrt{\int_0^1 |f'|^2}$,

der den siste ulikheten er gyldig fordi integranden er ikkenegativ.

Var Schwarz' som var tanken her, ja. Fint.