Glatt lukket flate, vektorfelt

[danode]

http://bildr.no/view/N3YyTmRQ

http://bildr.no/view/NXpGOC83

Er det noen med Caluculus 2 erfaring som kan hjelpe meg med svaret på disse oppgavene? Hadde en eksamen i dag, og har helt noia for at jeg svarte feil.

[danode]

Kan man tolke "ndo" som den deriverte med hensyn på F?

I så fall kommer jeg frem at svaret er 0.

[DennisChristensen]

http://bildr.no/view/N3YyTmRQ

http://bildr.no/view/NXpGOC83

Er det noen med Caluculus 2 erfaring som kan hjelpe meg med svaret på disse oppgavene? Hadde en eksamen i dag, og har helt noia for at jeg svarte feil.

Første oppgave
La $V$ være regionen hvis rand er flaten $S$. Da har vi at
$\iint_S \left( \nabla \times \vec F \right) \cdot \vec n \space d\sigma = \iiint_V \nabla \cdot \left( \nabla \times \vec F \right) dV \text{ fra divergensteoremet} \\
= \iiint_V \nabla \cdot \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ M & N & P \end{vmatrix}\space dV \\
= \iiint_V \nabla \cdot \left( P_y - N_z, M_z - P_x, N_x - M_y\right)\space dV \\
= \iiint_V \left( P_{xy} - N_{xz} + M_{yz} - P_{xy} + N_{xz} - M_{yz}\right)\space dV \\
= 0 \text{ (generelt ser vi at div curl }= 0\text{)}$

Annen oppgave

Vi finner først hvor kurvene møtes:
$\frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 = 0 \\
\therefore x(x-3) = 0$.

Dermed får vi at
$\iint_R dA = \int_{x=0}^{3}\int_{y=\frac{1}{9}x^2}^{\frac{1}{3}x} dy\space dx \\
= \int_{x=0}^3 \left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2\right) dx \\
= \left[ \frac{1}{2 \cdot 3}x^2 - \frac{1}{3^3}x^3\right]_0^3 \\
= \frac{3}{2} - 1 \\
= \frac{1}{2}$.