Parametrisering av skjæringsflate

[sm94]

Hei! Står litt fast på Maple 2 i Matte 2, NTNU.

Her er oppgaven min:



Jeg har prøvd å finne en parametrisering hundre ganger nå, men skjønner ikke hvordan jeg skal bruke at y = k*sin(t).
Har sett på en del eksempler og videoer, og ved å sette x=0, får jeg denne "vanlige" parametriseringen:

x = -2t
y = (sqrt(6)/2)+4t
z = 5-3t

Men hvordan bruker jeg y = k*sin(t)?

[fish]

I tillegg til at du setter [tex]y=k\sin t[/tex], bør du sette [tex]x=m\cos t[/tex] og kreve ellipselikningen [tex]8x^2+4y^2=6[/tex] oppfylt, slik at [tex]k[/tex] og [tex]m[/tex] blir bestemt. Da gjenstår bare å bestemme [tex]z[/tex] uttrykt ved [tex]t[/tex] ved hjelp av likningen [tex]-3x^2+2z=10[/tex].

[Gjest]

I tillegg til at du setter [tex]y=k\sin t[/tex], bør du sette [tex]x=m\cos t[/tex] og kreve ellipselikningen [tex]8x^2+4y^2=6[/tex] oppfylt, slik at [tex]k[/tex] og [tex]m[/tex] blir bestemt. Da gjenstår bare å bestemme [tex]z[/tex] uttrykt ved [tex]t[/tex] ved hjelp av likningen [tex]-3x^2+2z=10[/tex].

Men hvordan kommer du deg videre derfra da, egentlig?

Står igjen med:

[tex]z=\frac{3x^2+1}{4}=\frac{3m^2cos^2(t)+1}{4}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Når en skal parametrisere en ellipse er det helt vanlig å sette $y = k \sin t$ og $x = m \sin t$. Målet er at du skal bytte ut $k$ og $m$ med tall slik at likningen $8x
^2+4y^2=6$ er oppfyllt. Ved å sette inn får en

$ \hspace{1cm}
8 \cdot (k \sin t )^2 + 4 \cdot (m \cos t )^2=6
$

Høyresiden er uavhengig av tiden (t), og for at likningen skal være oppfyllt må også venstre siden være uavhengig at $t$. Dette kan gjøres ved å bruke at $\sin^2 t +cos^2 t = 1$. Jeg "tipper" at $k^2 = 1/8$ og $m^2 = 1/4$ fungerer. Ved å sette inn fås da

$ \hspace{1cm}
8 \cdot ( \frac{1}{8}\sin^2t ) + 4 \cdot (\frac{1}{4} \cos^2t ) = 1
$

Så dette fungerte ikke! Høyresiden skulle ha blitt 6 men vi endte opp med 1. Ved å gange begge sider med $6$ får vi heldigvis det vi skal ha. Med andre ord

$
\begin{align*}
8 \cdot ( \frac{6}{8}\sin^2t ) + 4 \cdot (\frac{6}{4} \cos^2t ) & = 6 \\
8 \left( \sqrt{ \frac{6}{8}\,}\sin t \right)^2 + 4 \cdot \left( \sqrt{ \frac{6}{4} \, } \cos t \right)^2 & = 6
\end{align*}
$

Herfra kan du direkte lese ut verdiene for $m$ og $k$. Som nevnt brukes omtrent alltid parametriseringen $y = m \sin t$ og $x = k \cos t$ når det er snakk om ellipser, konstantene bestemmes basert på ellipselikningen.