Trenger hjelp med et integral

[Stringselings]

Kan noen gi meg et hint ?
[tex]I=\int \frac{x-1}{\sqrt {x^2+2x+7}}dx[/tex]

[Kjemikern]

Kan noen gi meg et hint ?
[tex]I=\int \frac{x-1}{\sqrt {x^2+2x+7}}dx[/tex]

Hint: Substitusjon
[tex]I=\int \frac{x-1}{\sqrt {x^2+2x+7}}dx[/tex]

[tex]I=\int \frac{x-1}{\sqrt {u}}dx[/tex] der [tex]u=x^2+2x+7[/tex]

[Stringselings]

Kan noen gi meg et hint ?
[tex]I=\int \frac{x-1}{\sqrt {x^2+2x+7}}dx[/tex]

Hint: Substitusjon
[tex]I=\int \frac{x-1}{\sqrt {x^2+2x+7}}dx[/tex]

[tex]I=\int \frac{x-1}{\sqrt {u}}dx[/tex] der [tex]u=x^2+2x+7[/tex]

Etter variabel skifte ser jeg ikke helt hvordan man kvitter seg med x'ene.

[tex]\frac{1}{2} \int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt {u}}du[/tex]

Kan du hjelpe meg litt videre ?

[Kjemikern]

Kan noen gi meg et hint ?
[tex]I=\int \frac{x-1}{\sqrt {x^2+2x+7}}dx[/tex]

Hint: Substitusjon
[tex]I=\int \frac{x-1}{\sqrt {x^2+2x+7}}dx[/tex]

[tex]I=\int \frac{x-1}{\sqrt {u}}dx[/tex] der [tex]u=x^2+2x+7[/tex]

Etter variabel skifte ser jeg ikke helt hvordan man kvitter seg med x'ene.

[tex]\frac{1}{2} \int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt {u}}du[/tex]

Kan du hjelpe meg litt videre ?

Sikker på at det ikke skal stå x+1 I telleren?

[Stringselings]

Helt sikker.. Vet ikke helt hvor vanskelig denne oppgaven er ment å være, men jeg fant den i hvertfall i integralkokeboken, hvis du har hørt om den ?

[Kjemikern]

Helt sikker.. Vet ikke helt hvor vanskelig denne oppgaven er ment å være, men jeg fant den i hvertfall i integralkokeboken, hvis du har hørt om den ?

Nei har ikke hørt om den boken, men denne oppgaven er som regel fra høyere pensum enn VGS. Dersom du ønsker så kan jeg vise deg hvordan du løser den?

[Kjemikern]

Helt sikker.. Vet ikke helt hvor vanskelig denne oppgaven er ment å være, men jeg fant den i hvertfall i integralkokeboken, hvis du har hørt om den ?

Nei har ikke hørt om den boken, men denne oppgaven er som regel fra høyere pensum enn VGS. Dersom du ønsker så kan jeg vise deg hvordan du løser den?

Kan gi deg et hint først da:

[tex]\int \frac{x-1}{\sqrt{x^2+2x+7}}dx=\int \frac{x-1}{\sqrt{((x+1)^2+6)}}dx[/tex]

[Stringselings]

Kan du vise meg ? Ser det fortsatt ikke

[Nebuchadnezzar]

liten skrivefeil i selve boken (vet det siden undertegnede er forfatter). Skulle vært

$
\int \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x +7\,}\,} \,\mathrm{d}x
$

Blir det enklere å beregne da?

[Stringselings]

liten skrivefeil i selve boken (vet det siden undertegnede er forfatter). Skulle vært

$
\int \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x +7\,}\,} \,\mathrm{d}x
$

Blir det enklere å beregne da?

Ah, okey. Da blir det piece of cake.
Veldig fin kokebok du har skrevet forresten

[Nebuchadnezzar]

Om en mot formodning antar at det skulle vært $x-1$ (forøvrig det blir et mye vanskeligere integral enn det som forventes i VG3)
så ville jeg skrevet

$ \hspace{1cm}
\frac{x - 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 7\,}\,}
= \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 7\,}\,}
- \frac{ 2 }{\sqrt{x^2 + 2x + 7\,}\,}
$

Å integrerere første del er som du sier kakemat. Mens å integrere andre del krever hårfint mer kløkt. Jeg vet jeg klarer å integrerere uttrykk på formen $1/\sqrt{1 \pm x^2}$ og $1/\sqrt{x^2 \pm 1}$ siden dette er antideriverte av $\arcsin x$, $\arccos x$ og $\text{arctanh}$ (den siste kan byttes ut med kvadratrøtter og logaritmer om du ikke helt er kjent med inverse hyperbolske funksjoner).

Så $x^2 + 2x + 7$ må skrives om via en substitusjon til en av formene ovenfor. Aite. Som kjemikeren skrev har vi $x^2 + 2x + 7 = (x+1)^2+6$. Med andre ord dersom vi later som $u = x + 1$ står vi igjen me $u^2 + 6$ som er veldig nærme. Løsningen blir derfor å velge substitusjonen $ \sqrt{6} u = x + 1$ slik at $(x+1)^2 = 6 u^2 $ og vi kan faktorisere ut $6$ (prøv substitusjonen, hva skjer?).

[Stringselings]

[tex]u=\frac{x+1}{\sqrt6}[/tex]
[tex]\int \frac{2}{\sqrt{(x+1)^2+6}}dx=2\int \frac{1}{\sqrt{u^2+1}}du[/tex]
Kult! Men jeg er ikke kjent med hyperbolske funksjoner så jeg aner ikke hva den siste delen blir.
Jeg er kjent med den antideriverte til arcsin, arccos og arctan, den siste delen ligner noe på arccos og arcsin i hvertfall.