matematikk.net

En kube er innskrevet i kula, [tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex] La [tex]A,B,C,D[/tex] være kantene på kuben som treffer kula. La O betegne senter av kula, og P et punkt på kula

Vis da at [tex]cos^2(POA)+cos^2(POB)+cos^2(POC)+cos^2(POD)[/tex] er uavhenging av P

Lar den gå litt før jeg legger til et hint

P = 1 og med det har den ingen betydning

Hint:

Ettersom vinkeler er uavhengig av koordinatene, kan vi anta at [tex]A,B,C,D[/tex] er [tex](\pm \frac{1}{\sqrt{3}},\pm \frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})[/tex]
Og vi betegner P med, [tex](x_{1},y_{1},z_{1})[/tex]

Tror ikke oppgaven var så intressant, haha

Kjemikern wrote:Hint:

Ettersom vinkeler er uavhengig av koordinatene, kan vi anta at [tex]A,B,C,D[/tex] er [tex](\pm \frac{1}{\sqrt{3}},\pm \frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})[/tex]
Og vi betegner P med, [tex](x_{1},y_{1},z_{1})[/tex]

Fra det har vi at [tex]\vec{OP}\cdot \vec{OA}=\mid \vec{OA} \mid\cdot \mid \vec{OP}{} \mid\cdot cos(\angle POA)[/tex]
vi har tilsvarende likheter for de andre punktene [tex]B,C,D[/tex]

Dette gir oss:
[tex]cos^2(\angle POA)+cos^2(\angle POB)+cos^2(\angle POC)+cos^2(\angle POD)\\ =(\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{3})^2+(-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{3})^2\\+(\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{3})^2+(-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{3})^2\\[10pt][/tex]

[tex]\frac{4}{3}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})\\[10pt]=\frac{4}{3},[/tex]

Siden P er på enhetsfæren, er P også uavhengig av dens verdi.
Hvilket skulle bevises.

^det jeg sa.

Gjest wrote:^det jeg sa.

Haha, sant nok =)

Kjemikern wrote:Tror ikke oppgaven var så intressant, haha

Problemet er at oppgaveteksten ikke var tydelig. Du skrev at $A,B,C,D$ skulle være kantene
på kuben som treffer kula. Dette gir jo ingen mening. Utifra løsningen din, så lar du disse
punktene være de fire hjørnene som ligger på kula over $xy$-planet (etter en eventuell rotasjon).
Videre har kuben åtte hjørner som ligger på kula, så $A,B,C,D$ er fremdeles ikke entydig bestemt.

Hadde oppgaveformuleringen vært litt mer presis, så synes jeg det hadde vært en fin oppgave!