En kube er innskrevet i kula, [tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex] La [tex]A,B,C,D[/tex] være kantene på kuben som treffer kula. La O betegne senter av kula, og P et punkt på kula
Vis da at [tex]cos^2(POA)+cos^2(POB)+cos^2(POC)+cos^2(POD)[/tex] er uavhenging av P
Lar den gå litt før jeg legger til et hint
Innskrevet kube
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Tror ikke oppgaven var så intressant, haha
vi har tilsvarende likheter for de andre punktene [tex]B,C,D[/tex]
Dette gir oss:
[tex]cos^2(\angle POA)+cos^2(\angle POB)+cos^2(\angle POC)+cos^2(\angle POD)\\ =(\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{3})^2+(-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{3})^2\\+(\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{3})^2+(-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{3})^2\\[10pt][/tex]
[tex]\frac{4}{3}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})\\[10pt]=\frac{4}{3},[/tex]
Siden P er på enhetsfæren, er P også uavhengig av dens verdi.
Hvilket skulle bevises.
Fra det har vi at [tex]\vec{OP}\cdot \vec{OA}=\mid \vec{OA} \mid\cdot \mid \vec{OP}{} \mid\cdot cos(\angle POA)[/tex]Kjemikern wrote:Hint:
Ettersom vinkeler er uavhengig av koordinatene, kan vi anta at [tex]A,B,C,D[/tex] er [tex](\pm \frac{1}{\sqrt{3}},\pm \frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})[/tex]
Og vi betegner P med, [tex](x_{1},y_{1},z_{1})[/tex]
vi har tilsvarende likheter for de andre punktene [tex]B,C,D[/tex]
Dette gir oss:
[tex]cos^2(\angle POA)+cos^2(\angle POB)+cos^2(\angle POC)+cos^2(\angle POD)\\ =(\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{3})^2+(-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{3})^2\\+(\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{3})^2+(-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}x_{3})^2\\[10pt][/tex]
[tex]\frac{4}{3}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})\\[10pt]=\frac{4}{3},[/tex]
Siden P er på enhetsfæren, er P også uavhengig av dens verdi.
Hvilket skulle bevises.
-
Brahmagupta
- Guru
- Posts: 628
- Joined: 06/08-2011 01:56
Problemet er at oppgaveteksten ikke var tydelig. Du skrev at $A,B,C,D$ skulle være kanteneKjemikern wrote:Tror ikke oppgaven var så intressant, haha
på kuben som treffer kula. Dette gir jo ingen mening. Utifra løsningen din, så lar du disse
punktene være de fire hjørnene som ligger på kula over $xy$-planet (etter en eventuell rotasjon).
Videre har kuben åtte hjørner som ligger på kula, så $A,B,C,D$ er fremdeles ikke entydig bestemt.
Hadde oppgaveformuleringen vært litt mer presis, så synes jeg det hadde vært en fin oppgave!