Kontinuerlig funksjon

[Jack the Ripper]

Jeg sliter litt med oppgave b) og c) og lurte på om noen hadde tips på veien
Setter pris på all hjelp!

[Vektormannen]

b) Her må du se på [tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex] (definisjonen av den deriverte). Husk at du vet at f er deriverbar i 0, så du vet at [tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}[/tex] eksisterer og er lik k.

c) Hva er [tex]\frac{f^\prime(t)}{f(t)}[/tex] for alle t?

[Jack the Ripper]

[tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}, \lim_{h \to 0} \frac{f(h+0) - 1}{h},\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} =0?[/tex]
Tror jeg sliter litt med å skjønne

[Vektormannen]

Ikke helt; det er oppgitt at f'(0) eksisterer og at den er lik k. Da vet vi at [tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} = k[/tex]. Dette trenger man for å vise at f er deriverbar over alt og at f'(x) = k.

Som sagt så vil det at f skal være deriverbar i et punkt x si at [tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}[/tex] skal eksistere. Vi ønsker å vise at den grenseverdien blir kf(x). Kan du gjøre noe med f(x+h)?

[Jack the Ripper]

Vi kan finne et uttrykk for f(x+h)? Altså f(x+h)=kf(x)*h+f(x)
Slik at vi får [tex]\lim_{h \to 0} \frac{kf(x)*h+f(x) - f(x)}{h}[/tex]
Som fører til at vi står igjen med kf(x)?

[Vektormannen]

Nei. Den deriverte er grenseverdien [tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}[/tex], og den kan vi ikke endre på. Men hvis vi bruker det vi vet om f, nemlig at [tex]f(x+h) = f(x)f(h)[/tex], så får vi at den deriverte er [tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h) - f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}[/tex]. I siste steg her faktoriserte jeg ut f(x) fra telleren. Som jeg viste ovenfor så vet vi videre at [tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} = k[/tex], altså må [tex]f^\prime(x) = f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} = f(x) \cdot k[/tex]. Er du med på dette?

[Jack the Ripper]

Nei. Den deriverte er grenseverdien [tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}[/tex], og den kan vi ikke endre på. Men hvis vi bruker det vi vet om f, nemlig at [tex]f(x+h) = f(x)f(h)[/tex], så får vi at den deriverte er [tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h) - f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}[/tex]. I siste steg her faktoriserte jeg ut f(x) fra telleren. Som jeg viste ovenfor så vet vi videre at [tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} = k[/tex], altså må [tex]f^\prime(x) = f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} = f(x) \cdot k[/tex]. Er du med på dette?

Hang med helt til slutten Når du har faktorisert f(x) hvordan kommer du frem til at [tex]f^\prime(x) = f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} = f(x) \cdot k[/tex] Ville det ikke vært

[tex]f^\prime(x) = f(x)\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} = f(x) \cdot k[/tex]

[Vektormannen]

Beklager, det var en skrivefeil. Slik du skriver det er riktig

[Jack the Ripper]

Beklager, det var en skrivefeil. Slik du skriver det er riktig

Aha, tusen takk!

Jeg lurte også på c)
[tex]\frac{f^\prime(t)}{f(t)} dt[/tex] blir det f'(x)/f(x) [tex]\int x,0 f'(x)/f(x)[/tex] også bytta jeg ut f'(x)=kf(x). For å vise at dette er lik ln*f(x) kan jeg velge å derivere dette slik at jeg får [tex]\ 1*f'(x)/f(x)[/tex].

[MatIsa]

Beklager, det var en skrivefeil. Slik du skriver det er riktig

[tex]\frac{f^\prime(t)}{f(t)} dt[/tex] blir det f'(x)/f(x) [tex]\int x,0 f'(x)/f(x)[/tex] også bytta jeg ut f'(x)=kf(x), dette viser hvertfall at den er lik kf(x) [tex]\int kf(x)/f(x)= k\int (f'(x)*f(x)*(kjernen)-f(x)*f'(x)*(kjernen)))/f(x)^2[/tex] evt- her sitter jeg fast.

Er ikke helt sikker på hva du gjorde på slutten. Du har [tex]f(x)[/tex] i både teller og nevner, hvis du forkorter så sitter du igjen med [tex]\int_0^x k ~dt[/tex], noe som er litt enklere å håndtere

[Jack the Ripper]

Beklager, det var en skrivefeil. Slik du skriver det er riktig

[tex]\frac{f^\prime(t)}{f(t)} dt[/tex] blir det f'(x)/f(x) [tex]\int x,0 f'(x)/f(x)[/tex] også bytta jeg ut f'(x)=kf(x), dette viser hvertfall at den er lik kf(x) [tex]\int kf(x)/f(x)= k\int (f'(x)*f(x)*(kjernen)-f(x)*f'(x)*(kjernen)))/f(x)^2[/tex] evt- her sitter jeg fast.

Er ikke helt sikker på hva du gjorde på slutten. Du har [tex]f(x)[/tex] i både teller og nevner, hvis du forkorter så sitter du igjen med [tex]\int_0^x k ~dt[/tex], noe som er litt enklere å håndtere

Hadde det i tankene, men stussa over at noe var feil fordi det ikke var det jeg skulle frem til . Begynte å bli seint, så oppdaget at jeg gjorde stikk motsatte av det jeg egentlig skulle (derivere istedenfor å integrere)