Asymptoter x^x

[Hemulen]

Hei

Har en oppgave der jeg skal undersøke om f(x)=x^x, der [tex]x\epsilon \left ( 0,\infty \right )[/tex], har vertikale, horisontale eller skrå asymptoter. Vet hvordan dette skal gjøres med "enklere" uttrykk, men når jeg prøver på det samme metoder for x^x støter jeg bare på usikkerhetsmomenter i utregningen hele tiden, kommer liksom ikke fram til noe logisk svar. Ut i fra grafen ser det ut til at det burde finnes en vertikal asymptote. Er det noen som har gjort en lignende oppgave med x^x før?

[Zeph]

[tex]f(x)=x^x[/tex] er definert for alle reelle tall. Den vil fortsette i all uendelighet i intervallet du oppgir, og vil derfor ikke ha noen asymptoter.

[Hemulen]

Aha! Ja det forklarer en del, takk!

[Nebuchadnezzar]

[tex]f(x)=x^x[/tex] er definert for alle reelle tall. Den vil fortsette i all uendelighet i intervallet du oppgir, og vil derfor ikke ha noen asymptoter.

Dette er da direkte feil. Husk at det er ulike typer asymptoter. En har horisontale, vertikale og skrå asymptoter.
Eksempelvis så har
$$
f(x) = x! \, , \ g(x) = \arctan x \, , \ h(x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
alle sammen en asymptote, og er definert for alle reelle tall. Selv om den er definert for alle reelle tall. Men nei $x^x$ har ikke noen form for asymptoter.
Dette kan vises ved å eksempelvis følge fremgangsmåten på wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Asymptote# ... _functions
Den enkle forklaringen på hvorfor funksjonen ikke har en asymptote er at den vokser altfor hurtig.

[Zeph]

Dette er da direkte feil.

Nei. Jeg skrev:

[tex]x^x[/tex] er definert for alle reelle tall, noe som er korrekt.
Den vil vokse i all uendelighet, er også korrekt.
Den har ingen asymptoter, er også korrekt.
Så i praksis ingenting som sto der er feil.
Jeg er fullt klar over at jeg manglet presisering på at vekstraten er en vesentlig faktor, og er fullt klar over at funksjoner som er definert for alle reelle tall kan ha asymptoter.

[Nebuchadnezzar]

At en funksjon fortsetter i all evighet har ingenting med om den har en asymptotisk oppførsel eller ei.
Tilsvarende er det totalt irrelevant å se på om en funksjon er definert på R for å betrakte asymptoter.
Det eneste som betyr noe er hvordan asymptoter er definert, og det er via grenseverdier.
At du drar en konklusjon fra to irrelevante påstander ser jeg på som en direkte feil, og er noe som veldig lett kan skape forvirring blant studenter.
https://yourlogicalfallacyis.com/false-cause

[Gustav]

Hvis man legger til at funksjonen er kontinuerlig (og definert) på $(0,\infty)$, vil vel dette utelukke vertikale asymptoter.

Man har en horisontal asymptote hvis og bare hvis $\lim_{x\to\infty} f(x)$ eksisterer (og er endelig).

Siden funksjonen er deriverbar på hele intervallet, vil man ha skråasymptote hvis og bare hvis $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ eksisterer (og er endelig).



Så siden $f(x)=x^x$ er kontinuerlig og definert på $(0,\infty)$ har den ikke vertikal asymptote.

Siden $\lim_{x\to\infty} x^x=\infty$ har den ikke horisontal asymptote.

Siden $\lim_{x\to\infty}f'(x) = \lim_{x\to\infty}x^x(\ln (x)+1 = \infty$ har den ikke skråasymptote.