Tallteori

[Brahmagupta]

La n være et naturlig tall. Vis at hvis [tex]2+2\sqrt{1+12n^2}[/tex] er et heltall, så er det et fullstendig kvadrat.

[Gustav]

La n være et naturlig tall. Vis at hvis [tex]2+2\sqrt{1+12n^2}[/tex] er et heltall, så er det et fullstendig kvadrat.

For at uttrykket skal være et heltall må $m^2-12n^2=1$, som vi identifiserer med Pells ligning. Minste ikketrivielle løsning er m=7, n=2, så enhver løsning er på formen $m+n\sqrt{12}=\pm(7+2\sqrt{12})^k$ for $k\in\mathbb{N} $. La den fundamentale løsningen være $z_0=7+2\sqrt{12}$. Da er alle positive løsninger på formen $z=m+n\sqrt{12}=z_0^k$. Vi har at $m=\frac12 (z_0^k+\overline{z}_0^k)$. Det opprinnelige uttrykket blir dermed

$2+2m=2+z_0^k+\overline{z}_0^k=2+(7+2\sqrt{12})^k+(7-2\sqrt{12})^k$ for naturlige tall $k$.

$k=1$ gir $16=4^2$, og $k=2$ gir $196=14^2$, altså er uttrykket fullstendige kvadrater for k=1 og k=2. Anta at $2+(7+2\sqrt{12})^k+(7-2\sqrt{12})^k=s_k^2$ og
$2+(7+2\sqrt{12})^{k+1}+(7-2\sqrt{12})^{k+1}=s_{k+1}^2$ er fullstendige kvadrater.

La $2+(7+2\sqrt{12})^{k+2}+(7-2\sqrt{12})^{k+2}=s_{k+2}^2$. Hvis vi kan vise at $s_{k+2}^2$ er et fullstendig kvadrat er vi i mål.

Det går nå an å vise at $s_{k+2}=4s_{k+1}-s_{k}$, men det innebærer endel stygg algebra så jeg utelater utregningen. I alle fall viser denne rekurrensen at alle heltall på den opprinnelige formen er fullstendige kvadrater: hvis $s_k$ og $s_{k+1}$ er heltall, er $s_{k+2}$ heltall, så dersom $s_k^2$ og $s_{k+1}^2$ er fullstendige kvadrater er $s_{k+2}^2$ et fullstendig kvadrat.