y'' + 2y' + 2y = 2cos2t, y(0) = 2, y'(0) = 0
Her er sånn jeg har prøvd:
Løser homogen ligning:
y'' + 2y' + 2y = 0
Karakteristisk ligning:
[tex]\lambda^2 + 2\lambda + 2 = 0[/tex]
[tex]\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2}= -1 \pm i [/tex]
[tex]y_h = C_1e^{-t}cost + C_2e^{-t}sint[/tex]
[tex]y(0) = C_1 = -2[/tex]
[tex]\frac{d}{dx}y_h = -2(-e^{-t}sint + e^{-t}cost)+C_2(e^{-t}cost-e^{-t}sint)[/tex]
[tex]\frac{d}{dx}y(0) = -2(-1) + C_2(1) = 0 \Rightarrow C_2 = -2[/tex]
[tex]y_h = -2e^{-t}cost - 2e^{-t}sint[/tex]
Partikulærløsning
y'' + 2y' + 2y = 2cos2t
[tex]y_p = acost(2t) + bsin(2t)[/tex]
[tex]\frac{d}{dx}y_p = -2a \cdot cos(2t) + 2bsin(2t)[/tex]
[tex]\frac{d^2}{dx^2}y_p = -4a \cdot sin(2t) - 4bcos(2t)[/tex]
Setter inn:
[tex](-4a \cdot sin(2t) - 4bcos(2t)) + 2(-2a \cdot cos(2t) + 2bsin(2t)) + 2(a \ cdot cos(2t)+bsin(2t)) = 2cos(2t)[/tex]
[tex]sin(2t)(-4a+4b+2b) + cos(2t)(-4b-4a+2a) = 2cos(2t)[/tex]
[tex]sin(2t)(-4a+6b) + cos(2t)(-4b-2a) = 2cos(2t)[/tex]
[tex]-4a+6b = 0, -4b -2a = 2[/tex]
Løser ut og får:
[tex]a = -\frac{6}{14}, b = \frac{2}{3}[/tex]
[tex]y_p = -\frac{6}{14}cos(2t) + \frac{2}{3}sin(2t)[/tex]
Så løsningen blir:
[tex]y = y_h + y_p[/tex]
[tex]y = -2e^{-t}cost - 2e^{-t}sint -\frac{6}{14}cos(2t) + \frac{2}{3}sin(2t)[/tex]
Noe som ikke stemmer overens med fasitsvar i det hele tatt:
[tex]y(t) = -\frac{9}{5}e^{-t}cos(t) - \frac{13}{5}e^{-t}sin(t) - \frac{1}{5}cos(2t) + \frac{2}{5}sin(2t)[/tex]
Er jeg helt på bærtur eller er fasit feil?
