Funksjon og areal [VGS]
Posted: 03/12-2012 10:22
Her er en småartig oppgave for dere R2 elever, og kanskje de som akkuratt har begynt på universitetet. Oppgaven er en generalisering av en av de siste oppgavene på høstens R2 eksamen.
Figuren viser funksjonen
[tex]f(x) \, = \, \sqrt[\large \alpha ]{x - \beta }[/tex], i blått hvor [tex]\alpha \geq 1[/tex].
Og linja [tex]y [/tex] i svart tangerer [tex]f[/tex] i punktet [tex](\kappa,f(\kappa))[/tex]. Hvor vi selvsagt antar at [tex]\kappa[/tex] alltid velges slik at [tex]\kappa\geq\beta[/tex] for alle [tex]\beta[/tex].
La nå [tex]ADC[/tex] betegne det rødet arealet på figuren. Altså området avgrenset av linja [tex]y[/tex] , [tex]y[/tex]-aksen og [tex]f(x)[/tex].
Videre la [tex]DBC[/tex] betegne arealet under [tex]f(x)[/tex] fra [tex]D[/tex] til [tex]B[/tex].
a) Vis at forholdet [tex]ADC/DBC[/tex] er uavhengig av både [tex]\beta[/tex] og [tex]\kappa[/tex].
b) Er det mulig å velga [tex]\alpha[/tex] slik at [tex]ADC=DBC[/tex]?
c) Hva er forholdet [tex]ADC/DBC[/tex] dersom [tex]\alpha \in (0,1)[/tex] ?
Figuren viser funksjonen
[tex]f(x) \, = \, \sqrt[\large \alpha ]{x - \beta }[/tex], i blått hvor [tex]\alpha \geq 1[/tex].
Og linja [tex]y [/tex] i svart tangerer [tex]f[/tex] i punktet [tex](\kappa,f(\kappa))[/tex]. Hvor vi selvsagt antar at [tex]\kappa[/tex] alltid velges slik at [tex]\kappa\geq\beta[/tex] for alle [tex]\beta[/tex].
La nå [tex]ADC[/tex] betegne det rødet arealet på figuren. Altså området avgrenset av linja [tex]y[/tex] , [tex]y[/tex]-aksen og [tex]f(x)[/tex].
Videre la [tex]DBC[/tex] betegne arealet under [tex]f(x)[/tex] fra [tex]D[/tex] til [tex]B[/tex].
a) Vis at forholdet [tex]ADC/DBC[/tex] er uavhengig av både [tex]\beta[/tex] og [tex]\kappa[/tex].
b) Er det mulig å velga [tex]\alpha[/tex] slik at [tex]ADC=DBC[/tex]?
c) Hva er forholdet [tex]ADC/DBC[/tex] dersom [tex]\alpha \in (0,1)[/tex] ?