Har litt problemer med utregning av egenvektorer.
Benytter ; for å vise at det kommer en ny rad)
Har en 2x2 matrise
A= (1,4;6,-1)
Fant egenverdier lamda1 = -5 og lambda2 = 5
Skal så finne egenvektorer(x)
Begynner med lambda1 = -5.
Setter på formen (A - (Lambda1)*I)x = 0
Får dermed:
(6,4;6,4)*(x1;x2) = (0;0)
6x1+4x2=0
Men så skjønner eg ikke hvordan eg skal gå videre.
Egenvektoren for lambda -5 skal bli x= (-4;6)
egenvektorer
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Andreas345
- Grothendieck
- Posts: 828
- Joined: 13/10-2007 00:33
La [tex]\lam=5[/tex]
[tex]A = \begin{bmatrix} 1-5 & 4\\6 & -1-5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}[/tex]
[tex]\begin{bmatrix} -4 & 4\\6 & -6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}[/tex]
[tex]\begin{bmatrix} 1 & -1\\0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}[/tex]
Dvs at [tex]x_2[/tex] blir en fri parameter, så generelt har vi at:
[tex]\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_2\\x_2\end{bmatrix}=x_2 \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}[/tex]
Dermed må vektoren [tex]\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}[/tex] være en eigenvektor.
For [tex]\lam=-5[/tex]
[tex]\begin{bmatrix} 1--5 & 4\\6 & -1--5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}[/tex]
[tex]\begin{bmatrix} 6 & 4\\6 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}[/tex]
[tex]\begin{bmatrix} 6 & 4\\0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}[/tex]
Igjen har vi at [tex]x_2[/tex] blir en fri parameter.
[tex]\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{2}{3}x_2\\x_2 \end{bmatrix}=x_2 \begin{bmatrix} -\frac{2}{3}\\1 \end{bmatrix}[/tex]
Dermed må vektoren [tex]\begin{bmatrix} -\frac{2}{3}\\1 \end{bmatrix}[/tex] være en eigenvektor.
Som test kan jo du sjekke om [tex]Ax=\lam x[/tex], for å bekrefte at eigenvektorene stemmmer.
Edit: Angående svaret ditt, så vil enhver skalar ganget med [tex]\begin{bmatrix} -\frac{2}{3}\\1 \end{bmatrix}[/tex], også være en eigenvektor for matrisen.
[tex]A = \begin{bmatrix} 1-5 & 4\\6 & -1-5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}[/tex]
[tex]\begin{bmatrix} -4 & 4\\6 & -6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}[/tex]
[tex]\begin{bmatrix} 1 & -1\\0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}[/tex]
Dvs at [tex]x_2[/tex] blir en fri parameter, så generelt har vi at:
[tex]\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_2\\x_2\end{bmatrix}=x_2 \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}[/tex]
Dermed må vektoren [tex]\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}[/tex] være en eigenvektor.
For [tex]\lam=-5[/tex]
[tex]\begin{bmatrix} 1--5 & 4\\6 & -1--5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}[/tex]
[tex]\begin{bmatrix} 6 & 4\\6 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}[/tex]
[tex]\begin{bmatrix} 6 & 4\\0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}[/tex]
Igjen har vi at [tex]x_2[/tex] blir en fri parameter.
[tex]\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{2}{3}x_2\\x_2 \end{bmatrix}=x_2 \begin{bmatrix} -\frac{2}{3}\\1 \end{bmatrix}[/tex]
Dermed må vektoren [tex]\begin{bmatrix} -\frac{2}{3}\\1 \end{bmatrix}[/tex] være en eigenvektor.
Som test kan jo du sjekke om [tex]Ax=\lam x[/tex], for å bekrefte at eigenvektorene stemmmer.
Edit: Angående svaret ditt, så vil enhver skalar ganget med [tex]\begin{bmatrix} -\frac{2}{3}\\1 \end{bmatrix}[/tex], også være en eigenvektor for matrisen.