matematikk.net

En liten nøtt jeg kom over som ikke var så helt enkel:

Find grenseverdien dersom den eksisterer:

[tex]\lim_{z \to -1} \frac{\sqrt{z} - i + \sqrt{z+1}}{\sqrt{z^2 - 1}}[/tex]

Noen som vil prøve seg?

krje1980 wrote:En liten nøtt jeg kom over som ikke var så helt enkel:
Find grenseverdien dersom den eksisterer:
[tex]\lim_{z \to -1} \frac{\sqrt{z} - i + \sqrt{z+1}}{\sqrt{z^2 - 1}}[/tex]
Noen som vil prøve seg?

ett skudd fra hofta;

[tex]\lim_{z \to -1} \frac{\sqrt{z} - i + \sqrt{z+1}}{\sqrt{z^2 - 1}}=0[/tex]

trur forøvrig jeg ikke har løst "kompleks" grense før

Kan man bruke L'Hopital på komplekse grenser? Ser ut som det blir 0/0 i første omgang.

Aleks855 wrote:Kan man bruke L'Hopital på komplekse grenser? Ser ut som det blir 0/0 i første omgang.

var det jeg gjorde iallfall...

Jeg har fått oppgitt at svaret skal være:

[tex]\frac{1}{i \sqrt{2}}[/tex]

Har prøvd på diverse faktoriseringer, men kommer liksom aldri helt i mål.

Har tenkt som følger:

[tex]\lim_{z \to -1}\frac{\sqrt{z} - i + \sqrt{z+1}}{\sqrt{z^2 -1}} = \lim_{z \to -1}\frac{\sqrt{z} - i + \sqrt{z+1}}{\sqrt{(z+1)(z-1)}} = \lim_{z \to -1} \frac{\sqrt{z+1}(1 + \frac{\sqrt{z} - i}{\sqrt{z+1}})}{\sqrt{z+1} \sqrt{z-1}} = \lim_{z \to -1}\frac{1 + \frac{\sqrt{z} - i}{\sqrt{z+1}}}{z-1}[/tex]

Men kommer ikke lenger.

Slettttttt

Aleks855 wrote:Kan man bruke L'Hopital på komplekse grenser? Ser ut som det blir 0/0 i første omgang.

ved å bruke L'H og droppe grensene fås;

[tex]\frac{\frac{1}{2\sqrt z}+\frac{1}{2\sqrt{z+1}}}{\frac{2z}{2\sqrt{z^2-1}}}= \frac{\sqrt{z^2-1}}{2z}\left({1\over \sqrt z}+\frac{1}{\sqrt{z+1}}\right)=\frac{\sqrt{z^2-1}+\sqrt{z^2-z}}{2z\sqrt z}=\frac{-1}{i\sqrt 2}[/tex]

som er nesten svaret...

Edit: Hmm jeg tror jeg har gjort så mange feil at jeg fikk riktig svar.

http://i.imgur.com/eDJ2o.png

Her er mitt forsøk. Ser ut som den i'en i nevner faller bort på slutten siden telleren er null.

Aleks855 wrote:http://i.imgur.com/eDJ2o.png
Her er mitt forsøk. Ser ut som den i'en i nevner faller bort på slutten siden telleren er null.

i din øverste brudne brøk (orange farge), så vil

[tex]\sqrt{-1-1}=\sqrt{-2}=i\sqrt 2\neq -2[/tex]

Ballestein. Glemte rottegnet gitt.

Jaja, jeg løste en annen oppgave da

Tok meg et forsøk til.

http://i.imgur.com/vKFde.png

Ser det bra ut denne gangen?

Hvorfor kan man bruke L'Hopital? Jeg har sett eksempler før på at L'Hoptical feiler på komplekse grenser. Man kan finne grensa ved å Taylorutvikle [tex]\sqrt{z}[/tex] i uttrykket
[tex]\frac{\sqrt{z}-i}{\sqrt{z+1}}[/tex].

Komplekse uttrykk kan også bli null, så man kan jo fremdeles få uttrykk som [tex]\frac00[/tex] og [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex]