Hei.
Står litt fast et stykke ut i følgende problem:
Obtain a uniformly valid two-term composite expansion for the solutions of:
[tex]\epsilon \frac{d^{2}f}{dx^2} + \frac{df}{dx} + \frac{f}{x+1} = 3(1+x)[/tex], [tex]0 < x < 1[/tex]
[tex]0 < \epsilon << 1[/tex], [tex]f(0) = 1[/tex], [tex]f(1) = 2[/tex]
OK, så vi definerer her at: [tex]f(x; \epsilon) \sim f_0 (x) + \epsilon f_1 (x) + \epsilon^2 f_2 (x) + \cdots[/tex]
Fra nå av vil jeg kun fokusere på den ytre ekspansjonen ettersom det er på denne jeg står fast. Ekspansjonen er gitt ved:
[tex]f = f_0 + \epsilon f_1[/tex]
Formen på uttrykket tilsier at den ytre ekspansjonen skjer ved [tex]x = 1[/tex]. Vi har:
[tex]O(1): \frac{df_0}{dx} + \frac{f_0}{x+1} = 3(x+1)[/tex], [tex]f_0 (1) = 2[/tex]
Dette løses rett frem som en førsteordens diff.ligning, og gir:
[tex]f_0 = (x+1)^2 - \frac{4}{x+1}[/tex]
Dette stemmer også med fasit.
Problemet er når jeg skal finne uttrykket for [tex]\epsilon f_1[/tex]. Da får jeg ikke samme svar som fasit. Basert på oppgaven mener jeg at vi får:
[tex]O(\epsilon): \frac{df_1}{dx} + \frac{f_1}{x+1} = -\frac{d^{2}f_0}{dx^2}[/tex], [tex]f_1 (1) = 0[/tex]
Ettersom [tex]f_0 = (x+1)^2 - \frac{4}{x+1}[/tex] har vi:
[tex]\frac{df_0}{dx} = 2(x+1) + \frac{4}{(x+1)^2}[/tex]
Uttrykker derfor [tex]O(\epsilon)[/tex]-uttrykket som følger:
[tex]\frac{df_1}{dx} + \frac{f_1}{x+1} = -\frac{d}{dx}\left(2(x+1) + \frac{4}{(x+1)^2}\right)[/tex]
Setter:
[tex]p(x) = \frac{1}{x+1}[/tex]
[tex]\mu (x) = x+1[/tex]
Dette gir:
[tex] [f_1(x+1)]^{\prime} = -\frac{d}{dx}\left[2(x+1)^2 + \frac{4}{(x+1)}\right][/tex]
[tex]f_1 (x+1) = -\left(2(x+1)^2 + \frac{4}{(x+1)}\right) + C[/tex]
[tex]f_1 = -\left( 2(x+1) + \frac{4}{(x+1)^2}\right) + \frac{C}{x+1}[/tex]
Med initialbetingelsen [tex]f_1 (1) = 0[/tex] får vi da:
[tex]0 = - 2(2) - \frac{4}{4} + \frac{C}{2}[/tex]
[tex]C = 10[/tex]
Altså har jeg:
[tex]f_1 = -2(x+1) - \frac{4}{(x+1)^2} + \frac{10}{x+1}[/tex]
I følge fasit skal jeg imidlertid her få:
[tex]f_1 = \frac{8}{x+1} - \frac{8}{(x+1)^2} - (x+1)[/tex]
Altså må det være et eller annet jeg gjør feil. Nå har jeg sett over oppgaven mange ganger, men klarer ikke å se hva det er! Er det noe fundamentalt jeg gjør feil i tankegangen, eller kludrer jeg det til når jeg skal løse diff.ligningen? Om noen kan hjelpe meg med dette vil jeg være svært takknemlig. Denne oppgaven torturerte meg i natt.
Asymptotisk tilnærming
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
. Jeg fant ut av det nå.