Hei, Kan noen hjelpe meg ang denne?
Jeg disponerer 10.000 kr pr. mnd til kjøp av mat og leie av bolig. X er størrelsen på boligen (kvadratmeter) og Y er enheter mat. Prisen på boligen er 100 kr pr.meter kvadrat, prisen på mat er 200 pr. enhet. Nyttefunksjonen er U(x,y)=x (opphøyd i 1/3) y(opphøyd i 1/2).
Jeg skal da finne det optimale konsum av mat og bolig, skal jeg da bruke derivasjon`s regler?
Derivasjon?
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
Slik jeg forstår denne oppgaven, skal du maksimere nyttefunksjonen U(x,y)=x[sup]1/3[/sup]y[sup]1/2[/sup] under bibetingelsen 100x + 200y <= 10000. Ettersom U vokser når x eller y vokser, vil U nå sin maksimalverdi når V(x,y)=x + 2y - 100 = 0. Maksimalverdien finner vi ved å løse likningssettet
[part]U[/part]/[part]x[/part] = λ * ([part]V[/part]/[part]x[/part]) og [part]U[/part]/[part]y[/part] = λ * ([part]V[/part]/[part]y[/part]).
Ved å partiellderivere finner vi at
(1/3)*x[sup]-2/3[/sup]y[sup]1/2[/sup] = λ og (1/2)*x[sup]1/3[/sup]y[sup]-1/2[/sup] = 2λ.
Gjennom å dele den siste likningen på den første, blir resultatet at
x[sup]1/3-(-2/3)[/sup] y[sup]-1/2-1/2[/sup]*[(1/2)/(1/3)] = 2λ/λ,
så x/y=4/3. M.a.o. er x=4y/3, hvilket innebærer at 100=x+2y=(4y/3)+2y = 10y/3. Altså er y=100*3/10=3*10=30, noe som igjen gir x=100-2*y=100-2*30=100-60=40.
[part]U[/part]/[part]x[/part] = λ * ([part]V[/part]/[part]x[/part]) og [part]U[/part]/[part]y[/part] = λ * ([part]V[/part]/[part]y[/part]).
Ved å partiellderivere finner vi at
(1/3)*x[sup]-2/3[/sup]y[sup]1/2[/sup] = λ og (1/2)*x[sup]1/3[/sup]y[sup]-1/2[/sup] = 2λ.
Gjennom å dele den siste likningen på den første, blir resultatet at
x[sup]1/3-(-2/3)[/sup] y[sup]-1/2-1/2[/sup]*[(1/2)/(1/3)] = 2λ/λ,
så x/y=4/3. M.a.o. er x=4y/3, hvilket innebærer at 100=x+2y=(4y/3)+2y = 10y/3. Altså er y=100*3/10=3*10=30, noe som igjen gir x=100-2*y=100-2*30=100-60=40.