Vis at [tex]\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}+\sqrt{ab}\geq \frac{(a+b)^2}{2c}[/tex]
Når [tex]a,b\epsilon [0,c][/tex]
Ulikhet
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ulikheten er ekvivalent med
[tex]\frac12 \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac12\sqrt{xy}\geq (\frac{x+y}{2})^2[/tex], der [tex]x=\frac{a}{c}\in [0,1][/tex], [tex]y=\frac{b}{c}\in [0,1][/tex]
Siden [tex]\sqrt{z}\geq z[/tex] for [tex]z\in[0,1][/tex] er [tex]\frac12 \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac12\sqrt{xy}\geq \frac{1}{2}(\frac{x^2+y^2}{2})+\frac{1}{2}xy=(\frac{x+y}{2})^2[/tex]
[tex]\frac12 \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac12\sqrt{xy}\geq (\frac{x+y}{2})^2[/tex], der [tex]x=\frac{a}{c}\in [0,1][/tex], [tex]y=\frac{b}{c}\in [0,1][/tex]
Siden [tex]\sqrt{z}\geq z[/tex] for [tex]z\in[0,1][/tex] er [tex]\frac12 \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac12\sqrt{xy}\geq \frac{1}{2}(\frac{x^2+y^2}{2})+\frac{1}{2}xy=(\frac{x+y}{2})^2[/tex]
-
Brahmagupta
- Guru
- Posts: 628
- Joined: 06/08-2011 01:56
Ser meget bra ut, fin løsning!
En annen måte å løse den på er å substituere de to uttrykkene på venste side med x og y og så bruke at [tex]cx\geq x^2[/tex], det samme gjelder selvfølgelig y og ulikheten følger ved divisjon med c.
En annen måte å løse den på er å substituere de to uttrykkene på venste side med x og y og så bruke at [tex]cx\geq x^2[/tex], det samme gjelder selvfølgelig y og ulikheten følger ved divisjon med c.