Trekanter som halveres

[LAMBRIDA]

Jeg har en kjekk oppgave med et interessant forhold mellom den opprinnelige trekantens sider for at arealet skal halveres etter følgende metode:

Oppgaven

I en trekant med omkrets 25,313708 cm går det linjer fra hjørnene til midten av de motstående sidene.,De tre linjestykkene blir sidene i en ny trekant.,Det viser seg at den nye trekanten har et areal som er nøyaktig halvparten så stort som den opprinnelige trekanten.,Hvor store er da vinklene i den opprinnelige trekanten?

[Knuta]

Kan du tegne en skisse, trenger ikke være riktig form eller ha riktig vinkler. Slik jeg tolker oppgaven klarer jeg bare å dele opp trekanten i seks deler.

[LAMBRIDA]

Prøver heller å forklare dette noe bedre, for jeg er ikke vant med å tegne skisser ennå.
Du skal altså finne den riktige trekanten ut fra målene jeg har som gir løsning.,Når du har trekt linjer fra hvert hjørne til de motstående sidene, så skal du finne lengdene på disse og tegne en ny trekant med disse sidelengdene.
Altså arealet skal halveres og blir du kjent med dette, ja da blir det ikke vanskelig å finne flere slike "opprinnelige" trekanter.

[Knuta]

Hvis jeg tegner en trekant (ikke målsatt) og konstruerer 3 stykk linjestykker fra hjørnene til midten på motstående linjestykker, og bruker disse nye linjestykkene til en ny trekant vil disse to trekantene ha et arealforhold på
1 : 4/3

Du er sikker at det er arealet som menes og ikke lengden på linjestykkene som skal halveres?

[Per Spelemann]

Kanskje det er ei lure-oppgave hvor løsningen består i at «trekanten» har en vinkel på null grader…

Forresten stilig at arealforholdet som Knuta nevner, alltid blir 4/3.

[Nebuchadnezzar]

Noen som har et bevis for at areale av median trekanten alltid er 3/4 ?

Prøvde å bevise dette via Herons formel, men det ble litt for grisete. Så også et geometrisk bevis, men det var uten ord.

[Per Spelemann]

Det er mulig å bruke «digitale hjelpemidler» til å forenkle uttrykket fra Herons formel. Spesielt elegant er det ikke, men det fungerer:

Plasser den opprinnelige trekanten i et koordinatsystem slik at hjørnene har koordinater (0, 0), (2a, 0) og (2b, 2c). Denne trekanten har areal:

[tex]2|ac|[/tex]

Videre vil sidelengdene til mediantrekanten være:

[tex]\sqrt{ (a + b)^2 + c^2 }[/tex]

[tex]\sqrt{ (2a - b)^2 + c^2 }[/tex]

[tex]\sqrt{ (a - 2b)^2 + c^2 }[/tex]

Innsatt i Herons formel og forenklet digitalt, så finner vi at arealet til mediantrekanten er:

[tex]\frac{3 |ac|}{2}[/tex]

Dette gir oss det ønskede arealforholdet.

[Brahmagupta]

Laget dette beviset, tror det skulle være riktig.
http://bildr.no/view/1107627
Hvis man først betrakter en trekant med inskrevne medianer vil trekanten deles inn i 6 trekanter. På AB med midtpunkt D får man trekantene AOD og BOD. Disse har like store arealer siden de har like lang grunnlinje og høyde. Det samme gjelder for BC og AC.

Se nå på trekant ADO og ECO. Kaller vinkel AOD og COE er toppvinkler og like store, kaller disse u. [tex]\normalsize M_A[/tex] betegner medianen fra A til motstående side.
[tex]\normalsize A_{ADO}=\frac12\times \frac13M_C \times\frac23M_A\times \sin{u}[/tex]
[tex]\normalsize A_{ECO}=\frac12\times \frac23M_C \times\frac13M_A\times\sin{u}[/tex]
[tex]\normalsize A_{ADO}=A_{ECO}[/tex]
Det følger at alle de 6 trekantene har like stort areal.
Nå til selve beviset:
Kaller de avmerkede vinklene på bildet v
[tex]\normalsize A_{BFG}=\frac12 M_BM_C\sin{v}[/tex]
[tex]\normalsize A_{ABC}=\frac12\times \frac13M_B \times\frac23 M_C\times \sin{v}\times 6[/tex]
Det følger at [tex]\frac{A_{BFG}}{A_{ABC}}=\frac34[/tex]

Det krever også noe argumentasjon for at medianen kan parallellforskyves slik at de danner en trekant. Kan legge til dette hvis nødvendig.

[LAMBRIDA]

Jeg gikk for tidlig ut med denne oppgaven og skjønte etter hvert at jeg måtte ha feil i det å halvere trekantens areal etter det prinsippet jeg påpekte.,Beklager dette i aller høyeste grad, men i stedet kan dette ha vært en utfordring for noen, håper jeg.,Selv er jeg meget imponert over hvordan beviset settes opp for at trekanten altid blir 3/4 av den opprinnelige.