Førjulssnadder 3

[Gustav]

Vis at det for ethvert primtall p er mulig å finne heltall x og y slik at [tex]x^2+y^2+1[/tex] er delelig med p.

[Hoksalon]

xxxxx

[Vektormannen]

Det kan godt være du har rett, men det er litt vanskelig å lese hva du mener. Hvor kommer den andre ligningen din fra? (Andre linje) Og hva mener du med at [tex]x^2 + y^2 + 1[/tex] kan omfatte alle tall utenom tall som er skrevet på formen 4m?

[Brahmagupta]

Jeg tror ikke det holder helt.
Andre likning er riktig siden summen av to kvadrattall kan nettopp ta verdiene 0,1 og 2 modulo 4, men videre er antakelsen din om at uttrykket kan ta alle verdier unntatt tall på formen [tex]4m[/tex] feil.

Moteksempel:
7 er ikke på formen [tex]4n[/tex] men kan allikevel ikke skrives ved hjelp av det gitte uttrykk.
Hvorfor er antakelsen feil?

[Hoksalon]

xxxxxxx

[Brahmagupta]

Nei, nei, det er mye god tenkning.
Se på andre likning etter likhetstegnet:
[tex]4u^2+4v^2+1=4(u^2+v^2)+1[/tex]
Ved å si at uttrykket kan ta alle verdier utenom [tex]4n[/tex]
antar du at [tex]u^2+v^2[/tex] kan ta alle verdier. Det er dette jeg stusset ved.

[Hoksalon]

xxxxxx

[Hoksalon]

Ok, jeg TROR jeg har et bevis nå.

Vi ser først at

[tex] x^2 + y^2 + 1 = n \cdot p[/tex]

Før beviset begynner, så ser vi at for y = 0, x = 1, så gjelder setningen for p = 2. Vi kan derfor anta at det bare er snakk om odde primtall.

[tex] x^2 + y^2 + 1 \equiv 0 \pmod{p}[/tex]

[tex]x^2 + y^2 \equiv p-1 \pmod{p}[/tex]

Vi vet altså at p-1 = 2n for alle naturlige tall n. Vi må derfor vise at alle partall kan dele x^2 + y^2.

[tex]\frac{x^2}{2n} + \frac{y^2}{2n} \equiv 1 \pmod{p}[/tex]

[tex] \frac{x^2}{2n} + \frac{y^2}{2n} \equiv 2n \pmod{p}[/tex]

Vi setter x = 2n, y = 0

[tex]\frac{(2n)^2}{2n} + 0 \equiv 2n \pmod{p}[/tex]

[tex] 2n \equiv 2n \pmod{p} [/tex]

Gir dette mening?

[Aleks855]

Unødvendig å slette alle de andre. De er jo minst like interessante som det riktige svaret.

Og hvis jeg ikke tar feil, så er det vel slik at det å redigere bort gamle innlegg er hærverk, siden det tar bort fra forumets integritet og søkbarhet.

[Hoksalon]

Ok, beklager. Jeg synes tankegangen min i de tidligere postene var amatørmessig og pinlig. Å teste for alle mulige kombinasjoner av oddetall/partall for x og y var imo et veldig dårlig forsøk på å løse denne oppgaven. Jeg skal unngå å slette tidligere innlegg fra nå av.

Jeg er forresten ikke sikker på om det jeg har gjort er helt riktig. Hadde vært fint om noen kunne bekrefte dette.

EDIT: Opps, der så jeg en feil.

[Gustav]

Hei, jeg vet ikke helt om jeg skjønner hva du har gjort. Tror ikke dette stemmer helt. Du setter altså y=0 og x=p-1. Dette medfører ikke at x^2+y^2+1=0 modulo p, for da får vi at (p-1)^2+1=2 modulo p. og du antok jo at p var odde primtall..