Polynom

[Brahmagupta]

[tex]f(x)=x^3+ax^2+bx+c[/tex]
[tex]f(p)=f(q)=f(r)=0[/tex]

a) Hva er [tex]p^3+q^3+r^3[/tex] uttrykt ved [tex]a,b[/tex] og [tex]c[/tex]?

b) Hva er [tex]p^4+q^4+r^4[/tex]?

c) Bevis at [tex]p^n+q^n+r^n[/tex] kan uttrykkes ved [tex]a,b[/tex] og [tex]c[/tex] for alle positive heltall [tex]n[/tex].

Edit: La til to oppgaver til

[Vektormannen]

Litt kjapt regnet, men [tex]p^3 + q^3 + r^3 = 3ab - a^3 - 3c[/tex]?

Edit: fant en fortegnsfeil

[Brahmagupta]

Riktig det! Det er en generalisert versjon av en oppgave fra første runde av abelkonkurransen (husker ikke hvilket år). Kan vente litt med utregningen, hvis flere vil prøve seg på oppgaven.

[Vektormannen]

Ja, er en del her inne som godt kan få til denne tror jeg, så du kan jo vente litt. Hvis ikke er det nok best at du poster din utregning, for jeg føler at min mest sannsynlig er unødvendig komplisert.

[Gustav]

[tex]f(x)=(x-p)(x-q)(x-r)=x^3+ax^2+bx+c[/tex]. Sammenligning av koeffisienter gir at

[tex]a=-(p+q+r)\Rightarrow a^2=p^2+q^2+r^2+2(pq+qr+pr)[/tex]
[tex]b=qr+pq+pr[/tex] så [tex]a^2=p^2+q^2+r^2+2b[/tex]

[tex]f(p)+f(q)+f(r)=p^3+q^3+r^3+a(p^2+q^2+r^2)+b(p+q+r)+3c=0[/tex] så
[tex]p^3+q^3+r^3+a(a^2-2b)-ab+3c=0[/tex] som er det samme som

[tex]p^3+q^3+r^3=-a^3+3ab-3c[/tex]

[Vektormannen]

Jeg gjorde akkurat det samme. Gjorde det kanskje ikke unødvendig komplisert likevel.

[Brahmagupta]

Min metode var nok litt mer komplisert enn den der. Har lagt til to oppgaver til nå.

[Karl_Erik]

På c) vil jeg tro den kan løses ved induksjon på en ikke altfor uoverkommelig måte, men tenkte jeg skulle nevne noe jeg syntes var litt stilig - grunnen til at dette virker er at [tex]p^n+q^n+r^n[/tex] er et symmetrisk polynom i røttene p, q, r, og at [tex]-a,b,-c=p+q+r,pq+qr+pr,pqr[/tex] er de tre elementære symmetriske polynomene i p,q,r. En kan faktisk vise at alle symmetriske polynomer kan skrives som polynomer i de elementære, og selv om det er et mer kraftig verktøy enn man trenger her synes jeg det er en fin ting å kjenne til.

[Gustav]

b)

[tex](p+q+r)(p^3+q^3+r^3)=a^4-3a^2b+3ac[/tex]

[tex]p^4+q^4+r^4+pq^3+pr^3+qp^3+qr^3+rp^3+rq^3=a^4-3a^2b+3ac[/tex]

[tex]pq^3+pr^3+qp^3+qr^3+rp^3+rq^3=pq(p^2+q^2)+pr(p^2+r^2)+qr(q^2+r^2)\\ = pq(a^2-2b-r^2)+pr(a^2-2b-q^2)+qr(a^2-2b-p^2)\\ = (a^2-2b)(pq+pr+qr)-pqr(p+q+r)=(a^2-2b)b-ac[/tex] så

[tex]p^4+q^4+r^4=a^4-3a^2b+3ac-a^2b+2b^2+ac=a^4-4a^2b+2b^2+4ac[/tex]

[Brahmagupta]

Nok en gang riktig!
Absolutt en fin ting å kjenne til, Karl Erik. Er dette relevant i forhold til matematikkonkurranser (abelkonkurransen, NMC, IMO)? Det er vel flere her som har erfaring fra disse.
Noen som tar c oppgaven allikevel?

[Karl_Erik]

Nok en gang riktig!
Absolutt en fin ting å kjenne til, Karl Erik. Er dette relevant i forhold til matematikkonkurranser (abelkonkurransen, NMC, IMO)? Det er vel flere her som har erfaring fra disse.
Noen som tar c oppgaven allikevel?

Er nok ikke det første du får bruk for, men som det aller meste annet går det vel under "kjekt å vite". En måte jeg har sett det brukt på er for å forenkle ulikheter. Om du har en eller annen symmetrisk polynomulikhet i f.eks. tre variable x,y,z kan man av og til forenkle den ved å sette a=x+y+z, b=xy+yz+xz, c=xyz og uttrykke ulikheten i a,b,c og forhåpentligvis ha noe som er lettere å bevise. Problemet(?) med dette er at a,b,c ikke er uavhengige av hverandre - for eksempel må [tex]a^3 \geq 3c[/tex]. Men som sagt er det av og til en grei mulighet å være klar over.

[Karl_Erik]

Oi sann, ble visst to innlegg det.